15.1. Признаки перпендикулярности двух плоскостей

Определения и обозначения

Две пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными, если образованный ими двугранный угол равен 90°. Для обозначения используют запись α ⟂ β. Это определение позволяет говорить о прямом угле между плоскостями, даже если на пространственном чертеже он изображён не как прямой.

Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей границей, которую называют ребром двугранного угла. Полуплоскости можно представить как две части плоскостей, расположенные по разные стороны от ребра. Это понятие нужно, чтобы описать угол, возникающий при пересечении плоскостей.

Линейный угол двугранного угла — это угол между лучами, лежащими в его гранях и перпендикулярными ребру. Лучи проводят из одной точки ребра, поэтому образованный ими угол можно измерить обычным способом. По его величине определяют величину двугранного угла.

Признак перпендикулярности плоскостей формулируется так: если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Условие о прямой, перпендикулярной именно плоскости, здесь принципиально. Этот признак превращает задачу о двугранном угле в задачу о прямой и плоскости.

Как это устроено

Пересечение двух плоскостей создаёт двугранный угол, но на чертеже его грани могут быть изображены под разными углами. Поэтому нельзя надёжно измерить угол между плоскостями по картинке. Вместо этого строят линейный угол: он лежит в плоскости и измеряется привычным способом.

Чтобы получить линейный угол, выбирают точку на ребре двугранного угла и проводят из неё в каждой грани луч, перпендикулярный ребру. Эти лучи образуют угол, величина которого и задаёт величину двугранного угла. Значит, если линейный угол прямой, грани образуют прямой двугранный угол, а плоскости перпендикулярны.

Признак связывает два вида перпендикулярности: прямой к плоскости и плоскости к плоскости. Если прямая a лежит в плоскости α и перпендикулярна β, то она образует прямой угол с любой прямой β, проходящей через точку пересечения a и β. В частности, она перпендикулярна ребру двугранного угла α и β.

Причина в свойстве перпендикуляра к плоскости: он перпендикулярен каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра. Поэтому в точке пересечения плоскостей можно взять в β прямую, перпендикулярную ребру, и сравнить её с прямой a в α. Получится линейный угол двугранного угла, равный 90°, а значит, плоскости перпендикулярны.

При доказательстве сначала находят линию пересечения плоскостей, то есть ребро двугранного угла. Затем через удобную точку ребра проводят в одной из плоскостей прямую, перпендикулярную ребру; это будет одна сторона линейного угла. Вторую сторону строят в другой плоскости так же, после чего доказывают, что полученный угол прямой.

На пространственном чертеже проверку удобно начинать с общей точки прямой и плоскости: именно через неё проходят прямые, с которыми сравнивают данную прямую. Затем ищут в плоскости две пересекающиеся прямые и доказывают перпендикулярность к обеим. Если такое обоснование есть, прямая перпендикулярна плоскости, и признак перпендикулярности плоскостей можно применить.

Определение и признак перпендикулярности плоскостей

Сначала определите, что дано: прямой линейный угол или прямая, перпендикулярная плоскости. В первом случае работает определение, во втором — признак. Если дано только перпендикулярное положение двух прямых, нужное условие ещё не доказано.

Разбор задач

В плоскости α лежит прямая a, перпендикулярная плоскости β. Докажите, что α и β перпендикулярны.

1. По условию a ⊂ α и a ⟂ β. Значит, в плоскости α уже найдена прямая, перпендикулярная плоскости β.
2. Применяем признак перпендикулярности плоскостей: если одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой, то плоскости перпендикулярны.
3. Следовательно, α ⟂ β. Дополнительное построение линейного угла не требуется, потому что прямое условие признака дано сразу.

Ответ: α ⟂ β.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что плоскости ABCD и ABB₁A₁ перпендикулярны.

1. Плоскости ABCD и ABB₁A₁ имеют общую прямую AB. Выберем ребро AD из плоскости ABCD, проходящее через точку A.
2. В кубе AD ⟂ AB и AD ⟂ AA₁: это рёбра, образующие прямые углы соответствующих квадратных граней. Прямые AB и AA₁ пересекаются и лежат в плоскости ABB₁A₁.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AD ⟂ ABB₁A₁. Так как AD лежит в ABCD, признак перпендикулярности плоскостей даёт нужный вывод.

Ответ: ABCD ⟂ ABB₁A₁.

Плоскости α и β перпендикулярны и пересекаются по прямой c. Через точку O на c проведена прямая a в плоскости α, причём a ⟂ c. Докажите, что a ⟂ β.

1. Так как α ⟂ β, линейный угол образованного ими двугранного угла равен 90°. Одной его стороной может быть луч прямой a, поскольку a лежит в α и перпендикулярна ребру c.
2. В плоскости β через O проведём луч, перпендикулярный c. Он образует с лучом a линейный угол, поэтому угол между ними прямой.
3. Теперь a перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости β, проходящим через O: прямой c и проведённому лучу. Следовательно, a ⟂ β.

Ответ: a перпендикулярна плоскости β.

Типичные ошибки

• Ошибка: считать достаточной перпендикулярность прямой одной плоскости отдельной прямой другой. Так делают, потому что признак плоскостей легко спутать с условием о двух прямых. Проверьте себя: доказана ли перпендикулярность ко всей плоскости, например, через две пересекающиеся прямые в ней?

• Ошибка: выбирать произвольный угол между прямыми, лежащими в плоскостях, и считать его углом между плоскостями. Такой угол может не иметь отношения к двугранному углу. Убедитесь, что обе стороны угла перпендикулярны ребру и лежат в гранях.

• Ошибка: применять признак, не проверив, что прямая лежит в одной из рассматриваемых плоскостей. Такое условие часто упускают, сосредоточившись только на перпендикулярности. Перед выводом запишите принадлежность прямой плоскости и отдельно — её перпендикулярность другой плоскости.

• Ошибка: объявлять плоскости перпендикулярными только потому, что на рисунке виден прямой угол. Изображение в пространстве может искажать углы, поэтому внешнего вида недостаточно. Проверьте, есть ли доказательство через линейный угол или признак перпендикулярности плоскостей.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать, как доказывать перпендикулярность прямой и плоскости: в частности, использовать свойство перпендикуляра к плоскости. Также понадобятся понятия двугранного угла и его линейного угла, которые позволяют перейти от пространственной конструкции к обычному углу. Эта тема помогает исследовать грани многогранников и взаимное расположение прямых и плоскостей.

Что запомнить

• Перпендикулярность плоскостей определяется через прямой линейный угол двугранного угла.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра.
• Для применения признака нужно установить перпендикулярность прямой именно плоскости.
• Рисунок помогает увидеть конструкцию, но не заменяет доказательство.