§ 15. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эта прямая называется ребром двугранного угла, а сами полуплоскости — его гранями. Двугранные углы возникают при пересечении плоскостей, поэтому их определение помогает описывать взаимное расположение граней пространственных фигур.

Линейный угол двугранного угла — угол, стороны которого перпендикулярны ребру двугранного угла и лежат в его гранях. Его строят в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру. Линейный угол нужен, чтобы измерять двугранный угол привычной величиной — числом градусов.

Перпендикулярными называются плоскости, образующие двугранный угол, равный 90°. Иными словами, линейный угол между такими плоскостями — прямой. Это определение позволяет говорить о перпендикулярности плоскостей не по виду чертежа, а на основании измерения или доказательства.

Как это устроено

Угол между плоскостями нельзя измерить так же, как угол между двумя прямыми: плоскости бесконечны и имеют много направлений. Поэтому рассматривают их сечение плоскостью, перпендикулярной общей прямой — ребру двугранного угла. В сечении грани дают две прямые, а между ними получается обычный плоский угол. Именно его и называют линейным углом двугранного угла.

Чтобы построить линейный угол, выберите точку на ребре и проведите через неё в каждой грани прямую, перпендикулярную ребру. Угол между этими прямыми измеряет двугранный угол. Если выбрать другую точку ребра, сечение останется перпендикулярным той же прямой; такие сечения параллельны, а стороны углов переносятся параллельно. Поэтому величина угла не меняется, и измерение не зависит от выбранной точки.

Перпендикулярность прямой плоскости связана с перпендикулярностью плоскостей через их общий след — прямую пересечения. Если прямая одной плоскости перпендикулярна другой плоскости, она перпендикулярна и прямой пересечения плоскостей. Проведённая в первой плоскости через точку пересечения прямая, параллельная этой прямой, тоже будет перпендикулярна следу. Вторая сторона линейного угла лежит в другой плоскости и также перпендикулярна следу, поэтому линейный угол оказывается прямым.

Отсюда следует признак перпендикулярности плоскостей: если одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны. Причина в том, что эта прямая задаёт в первой плоскости направление, перпендикулярное их общей прямой. Значит, линейный угол между плоскостями равен 90°, а по определению плоскости перпендикулярны.

На чертеже для применения признака сначала найдите прямую, лежащую в одной плоскости. Затем докажите, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым другой плоскости, — по признаку перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна всей этой плоскости. После этого примените признак перпендикулярности плоскостей. Две пересекающиеся прямые нужны, чтобы обосновать перпендикулярность плоскости, а не только отдельному направлению в ней.

Определение и признак перпендикулярности плоскостей

В первой строке таблицы перпендикулярность устанавливается по определению: измеряем линейный угол. Во второй — используем признак, чтобы обойтись без непосредственного построения и измерения этого угла. Перед применением признака проверьте, что нужная прямая действительно лежит в одной из плоскостей и перпендикулярна другой.

Разбор задач

Задача 1

Плоскости образуют двугранный угол, линейный угол которого равен 90°. Определите взаимное расположение плоскостей. Здесь уже дана величина линейного угла, поэтому достаточно обратиться к определению перпендикулярных плоскостей.

1. Линейный угол двугранного угла равен 90° по условию. Это означает, что угол между плоскостями — прямой.

2. По определению плоскости, образующие двугранный угол 90°, перпендикулярны. Дополнительных построений не требуется.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Задача 2

Плоскость α содержит прямую a, перпендикулярную плоскости β. Докажите, что α и β перпендикулярны. Условие уже совпадает с признаком перпендикулярности плоскостей, поэтому важно правильно назвать, какая прямая и какой плоскости принадлежит.

1. По условию a лежит в плоскости α. Также дано, что a ⟂ β.

2. Значит, плоскость α содержит прямую, перпендикулярную плоскости β. Это ровно условие признака перпендикулярности плоскостей.

3. Применяем признак: α ⟂ β. В доказательстве не нужно отдельно вычислять линейный угол.

Ответ: α ⟂ β.

Задача 3

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что плоскости ABCD и ABB₁A₁ перпендикулярны. Чтобы применить признак, подберите прямую в боковой грани и установите её перпендикулярность основанию. Удобно взять ребро AA₁, поскольку в кубе оно перпендикулярно двум соседним рёбрам основания.

1. Прямые AB и AD пересекаются и лежат в плоскости ABCD. Ребро AA₁ перпендикулярно AB и AD, так как соседние рёбра куба взаимно перпендикулярны.

2. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AA₁ ⟂ ABCD. При этом AA₁ лежит в плоскости ABB₁A₁.

3. Плоскость ABB₁A₁ содержит прямую, перпендикулярную плоскости ABCD. Применяем признак перпендикулярности плоскостей.

Ответ: ABCD ⟂ ABB₁A₁.

Типичные ошибки

Считать плоскости перпендикулярными только потому, что на рисунке одна выглядит горизонтальной, а другая вертикальной, — ошибка: чертёж передаёт форму условно. Такое впечатление возникает из-за привычного изображения пространства. Проверяйте себя: указано ли в условии прямое основание или доказан ли признак перпендикулярности?

Перпендикулярность прямой плоскости и перпендикулярность двух плоскостей — разные утверждения. Их путают, потому что в доказательстве одно часто используют для получения другого. Проверьте, на каком шаге применён признак: сначала прямая должна принадлежать одной плоскости и быть перпендикулярной другой.

Доказать перпендикулярность прямой только одной прямой плоскости обычно недостаточно. Одно направление не определяет перпендикулярность всей плоскости, хотя на рисунке может казаться, что этого хватает. Для проверки найдите две пересекающиеся прямые этой плоскости и установите перпендикулярность к обеим.

Угол, стороны которого не перпендикулярны ребру двугранного угла, не является его линейным углом. Его можно принять за нужный из-за удобного положения на рисунке. Перед измерением проверьте оба условия: стороны лежат в гранях и обе перпендикулярны ребру.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны признаки перпендикулярности прямой и плоскости и теорема о прямой, перпендикулярной плоскости. При построении линейного угла пригодится умение находить угол между прямыми и строить сечение плоскостью, перпендикулярной заданной прямой. Позже перпендикулярность плоскостей поможет изучать грани многогранников, строить сечения и решать задачи на углы в пространстве.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости образуют прямой двугранный угол.
• Двугранный угол измеряют его линейным углом.
• Линейный угол строят в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости используют две пересекающиеся прямые этой плоскости.
• Рисунок помогает увидеть взаимное расположение, но не заменяет доказательство.