"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол, но измерить его напрямую в пространстве неудобно. Для этого используют линейный угол — обычный плоский угол в сечении, перпендикулярном линии пересечения плоскостей. Его величина и есть величина двугранного угла. Угол между плоскостями выбирают меньшим, поэтому он не превосходит 90°. Это понятие помогает находить углы в многогранниках и устанавливать, перпендикулярны ли плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двугранный угол — фигура из двух полуплоскостей с общей граничной прямой. Общая прямая называется ребром, а полуплоскости — гранями двугранного угла. Представьте раскрытую книгу: линия сгиба играет роль ребра, а страницы — граней. Это понятие описывает пространственный угол между частями плоскостей.
Линейный угол двугранного угла — угол, стороны которого лежат в гранях и перпендикулярны ребру, а общая вершина находится на ребре. Его можно увидеть в сечении, проведённом перпендикулярно ребру. Линейный угол нужен, чтобы измерять двугранный угол привычными средствами планиметрии. Он превращает пространственную задачу в плоскую.
Угол между двумя плоскостями — меньший из углов, образованных при их пересечении. Его величина равна величине линейного угла соответствующего двугранного угла. Поэтому при вычислениях достаточно построить подходящий линейный угол. По определению выбирают угол не больше 90°.
Перпендикулярные плоскости — плоскости, угол между которыми равен 90°. Иными словами, их линейный угол является прямым. Определение позволяет заменить вопрос о взаимном расположении целых плоскостей проверкой одного плоского угла. Это особенно удобно в задачах о многогранниках.
Чтобы измерить двугранный угол, проводят сечение плоскостью, перпендикулярной его ребру. Такая плоскость пересекает каждую грань по лучу, и вместо двух частей плоскостей мы получаем обычный угол. Если сечение было бы наклонным, его линии пересечения с гранями могли бы менять видимый угол. Перпендикулярность сечения ребру обеспечивает правильное измерение, а не случайную проекцию.
Для построения линейного угла выберите точку на ребре. Через неё в каждой грани проведите луч, перпендикулярный ребру; получившиеся лучи и образуют искомый угол. Они принадлежат разным граням, поэтому показывают, как эти грани расходятся друг от друга. Вершина лежит на ребре, а стороны направлены внутрь соответствующих граней.
Выбор точки на ребре не меняет величину линейного угла. Если перенести вершину вдоль ребра, то проведённые перпендикулярно ему лучи окажутся в параллельных сечениях. Направления таких лучей можно совместить параллельным переносом, который сохраняет величину угла. Поэтому для построения можно брать ту точку, в которой удобнее выполнять вычисления.
Для двух пересекающихся плоскостей сначала определите прямую их пересечения. Затем в каждой плоскости проведите прямую, перпендикулярную этой общей прямой, и найдите меньший угол между проведёнными прямыми. Именно эти прямые задают стороны линейного угла. Способ работает потому, что они лежат в гранях и направлены поперёк ребра, а значит, измеряют соответствующий двугранный угол.
Если линейный угол получился прямым, угол между плоскостями равен 90°, и плоскости перпендикулярны. Причина в том, что линейный угол не просто связан с двугранным, а имеет ту же величину. Поэтому доказательство сводится к построению нужных прямых и установлению их перпендикулярности. Такое рассуждение часто оказывается короче, чем попытка описать положение плоскостей целиком.
| Что рассматриваем | Как определить или построить | Что показывает |
|---|---|---|
| Двугранный угол | Линия пересечения плоскостей — ребро, части плоскостей — грани | Пространственный угол между гранями |
| Линейный угол | Сечение плоскостью, перпендикулярной ребру | Величину двугранного угла |
| Угол между плоскостями | Меньший угол между прямыми, перпендикулярными линии пересечения | Величину от 0° до 90° |
| Перпендикулярные плоскости | Линейный угол равен 90° | Перпендикулярность двух плоскостей |
Сначала определите, какой объект рассматривается: двугранный угол, его линейный угол или две плоскости. Затем пользуйтесь средней колонкой, чтобы выбрать подходящее построение. Последняя колонка помогает понять, что именно показывает полученный угол.
Две плоскости пересекаются по прямой l. Из точки O на l в каждой плоскости проведены прямые, перпендикулярные l. Угол между ними равен 38°. Найдите угол между плоскостями.
Проверим построение: обе прямые лежат в соответствующих плоскостях и проходят через точку общей линии.
Каждая из них перпендикулярна l, поэтому эти прямые образуют линейный угол соответствующего двугранного угла.
Величина линейного угла равна величине двугранного угла. Указан угол 38°, и он уже меньше 90°, значит, выбирать дополнительный больший угол не нужно.
Ответ: 38°.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями ABCD и ABB₁A₁.
Плоскость ABCD — основание куба, а плоскость ABB₁A₁ — боковая грань. Они пересекаются по ребру AB.
В основании проведём прямую AD: соседние рёбра квадрата перпендикулярны, поэтому AD ⟂ AB. В боковой грани возьмём AA₁: это ребро куба также перпендикулярно AB.
Прямые AD и AA₁ проведены в разных плоскостях, перпендикулярны общей линии пересечения и имеют общую точку A. Следовательно, угол между ними является линейным углом. Рёбра AD и AA₁ соседние и перпендикулярны, поэтому этот угол прямой.
Ответ: 90°.
В тетраэдре ABCD известно, что AB перпендикулярна AC и AD. Найдите угол между плоскостями ABC и ABD.
Плоскости ABC и ABD пересекаются по прямой AB. Чтобы измерить угол между ними, нужно взять в каждой плоскости прямую, перпендикулярную AB.
По условию AC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна AB, а AD лежит в плоскости ABD и также перпендикулярна AB. Значит, угол CAD — линейный угол двугранного угла между данными плоскостями.
Условие не задаёт величину угла между AC и AD и не утверждает, что эти прямые перпендикулярны друг другу. Поэтому численное значение угла между плоскостями определить нельзя: оно равно ∠CAD.
Ответ: ∠CAD; численное значение без дополнительных данных не определяется.
Ошибка — считать углом между плоскостями любой угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях. Такие прямые могут быть наклонены к линии пересечения и не образуют линейный угол; из-за этого найденная величина не измеряет угол между плоскостями. Обычно ошибку допускают, выбирая просто заметные на чертеже линии. Проверьте, что обе прямые перпендикулярны общей линии плоскостей.
Нельзя измерять двугранный угол в произвольном сечении, не перпендикулярном ребру. Линии пересечения такого сечения с гранями не являются нужными сторонами линейного угла, поэтому полученная величина может отличаться. На рисунке наклонное сечение иногда выглядит вполне убедительно, что и сбивает с толку. Уточните, перпендикулярна ли плоскость сечения ребру.
Не следует выбирать больший из двух углов между плоскостями. Он дополняет меньший до 180°, но по определению углом между плоскостями считают меньший угол, не превосходящий 90°. Ошибку провоцирует то, что на чертеже раскрытие граней может выглядеть широким. Сравните оба значения и оставьте то, которое не больше прямого угла.
Перпендикулярность плоскостей не означает, что любые прямые в них перпендикулярны. Определение относится к углу между плоскостями, который измеряется подходящими прямыми, перпендикулярными линии пересечения. Смешение этих понятий возникает, когда свойства плоскостей переносят на все лежащие в них линии. Перед выводом проверьте, что речь идёт о линейном угле, а не о произвольной паре прямых.
Для работы с углом между плоскостями нужны знания о перпендикулярности прямых и плоскостей. В частности, полезен признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Он помогает обосновывать нужные перпендикулярности при построении линейного угла. Также пригодятся свойства параллельных прямых и углов.
Понятие применяется при нахождении углов в многогранниках: сначала выделяют общую грань или ребро, а затем строят линейный угол. Тот же подход помогает решать задачи о взаимном расположении плоскостей и доказывать их перпендикулярность. Пространственную конфигурацию удобно свести к плоской задаче, если правильно выбрать сечение или прямые. Так геометрические свойства отдельных рёбер становятся инструментом для анализа целых граней.
Как найти угол между двумя плоскостями?
Найдите линию пересечения плоскостей. В каждой плоскости проведите через одну точку этой линии прямую, перпендикулярную ей. Меньший угол между полученными прямыми и будет углом между плоскостями.
Почему линейный угол измеряет двугранный угол?
В сечении, перпендикулярном ребру, грани двугранного угла пересекаются по лучам. Эти лучи образуют обычный плоский угол, который сохраняет величину двугранного угла.
Можно ли строить линейный угол в любой точке ребра?
Да. В любой точке ребра можно провести в обеих гранях лучи, перпендикулярные ребру. Полученный линейный угол будет иметь ту же величину.
Какой из двух углов между плоскостями считать углом между ними?
Считают меньший из двух углов, образованных плоскостями. Поэтому угол между плоскостями находится в пределах от 0° до 90°.
Как доказать, что две плоскости перпендикулярны?
Покажите, что их линейный угол равен 90°. Например, можно провести в каждой плоскости прямую, перпендикулярную линии пересечения, и доказать, что эти прямые перпендикулярны.
14.2. Угол между двумя плоскостями
