14.1. Двугранный угол и его измерение

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскость — часть плоскости по одну сторону от прямой, которая служит её границей. Поэтому двугранный угол устроен в пространстве, а не является просто углом между двумя прямыми. Это определение помогает сразу увидеть, из каких частей состоит фигура.

Грани двугранного угла — две полуплоскости, образующие этот угол. Каждая грань остаётся частью своей плоскости, а вместе грани ограничивают рассматриваемую пространственную фигуру. Когда нужно описать положение двугранного угла, указывают обе его грани. Так не возникает путаницы с плоскими углами, лежащими в этих плоскостях.

Ребро двугранного угла — общая граничная прямая его граней. Она принадлежит обеим граням и разделяет их, поэтому служит основой для построения сечения. Ребро — именно прямая, а не её часть в виде луча или отрезка. Это различие важно, когда в задаче задана точка ребра или проводится перпендикуляр к нему.

Линейный угол двугранного угла — угол, образованный двумя лучами, лежащими в его гранях и перпендикулярными ребру. Лучи проводят из одной точки ребра, чтобы они образовали стороны одного плоского угла. Линейный угол нужен для измерения пространственной фигуры привычным способом. Его величина показывает меру двугранного угла.

Как это устроено

Представьте прямую и две полуплоскости, имеющие эту прямую общей границей. Каждая полуплоскость уходит от границы в своей плоскости, поэтому вместе они образуют фигуру с двумя гранями. Общая прямая становится ребром не по условному соглашению, а потому, что именно она принадлежит обеим граням и разделяет их. Если изменить положение одной грани, изменится и взаимное расположение частей фигуры.

Сам двугранный угол неудобно измерять непосредственно: его грани находятся в разных плоскостях, а привычный транспортир измеряет плоские углы. Поэтому через ребро проводят плоскость, перпендикулярную ему. Пересечение этой плоскости с каждой гранью даёт луч, причём оба луча имеют общее начало на ребре. Угол между ними уже лежит в одной плоскости, и его можно измерить обычными средствами.

Полученный плоский угол называют линейным, а его величину принимают за меру двугранного угла. Это определение переводит пространственную задачу в плоскую: вместо сравнения двух граней достаточно найти угол между следами этих граней в перпендикулярном сечении. Если линейный угол равен, например, 48°, то такой же мерой обладает и двугранный угол. Важно, что стороны плоского угла должны отражать направление обеих граней, а не просто лежать где-то в их плоскостях.

Точку ребра и перпендикулярное сечение можно выбрать по-разному, но мера двугранного угла от этого не изменится. Причина в том, что при параллельном переносе вдоль прямого ребра грани сохраняют своё взаимное положение, а сечения, перпендикулярные ребру, дают равные углы. Поэтому линейные углы одного двугранного угла равны. Это свойство позволяет измерять угол в наиболее удобном сечении, не опасаясь получить другой результат.

При построении нельзя брать любые перпендикуляры к ребру и считать угол между ними линейным. Каждый луч должен лежать в своей грани, а оба должны выходить из одной точки ребра; только так их пересечения с гранями образуют стороны нужного сечения. Сначала отметьте точку на ребре, затем проведите через неё плоскость, перпендикулярную ребру, и найдите следы граней. Такая проверка предотвращает ошибку, когда измеряют угол между направлениями, не связанными с самим двугранным углом.

Элементы двугранного угла и его измерение

Пользуйтесь таблицей как последовательностью построения: найдите грани и их общее ребро, затем выберите перпендикулярное сечение. По его пересечениям с гранями получите линейный угол. Его величина и будет искомой мерой двугранного угла.

Разбор задач

Задача 1. Двугранный угол образован полуплоскостями с общей прямой a. Назовите его грани и ребро. Здесь нужно распознать части фигуры по определению, а не искать дополнительное построение. Достаточно установить, что именно дано как общая граница.

1. Грани — две полуплоскости, названные в условии.
2. Их общая граничная прямая обозначена a, значит, она является ребром.

Ответ: грани — данные полуплоскости, ребро — прямая a. Проверка простая: обе грани должны иметь названную прямую общей границей.

Задача 2. Из точки ребра двугранного угла проведены в его гранях два луча, перпендикулярные ребру. Угол между лучами равен 48°. Найдите меру двугранного угла. Условие специально задаёт нужное положение лучей, поэтому дополнительных построений искать не требуется. Надо определить, какой плоский угол они образуют.

1. Проведённые лучи лежат в гранях и перпендикулярны ребру.
2. Следовательно, угол между ними является линейным углом двугранного угла.
3. Мера двугранного угла равна мере его линейного угла, поэтому переносим значение 48° без изменения.

Ответ: 48°. При проверке убедитесь, что речь идёт именно о лучах в гранях, а не о произвольных направлениях, перпендикулярных ребру.

Задача 3. В двух плоскостях, перпендикулярных одному ребру двугранного угла, построены линейные углы. Один из них равен 72°. Найдите второй и обоснуйте ответ. Здесь плоскости сечения могут проходить через разные точки ребра, но обе подходят для построения линейного угла. Значит, применяем свойство независимости меры от выбора перпендикулярного сечения.

1. Первый и второй углы построены в сечениях, перпендикулярных одному и тому же ребру.
2. Оба являются линейными углами одного двугранного угла.
3. Линейные углы одного двугранного угла равны, поэтому второй угол равен 72°.

Ответ: 72°. Обоснование опирается не на равенство самих плоскостей сечения, а на равенство линейных углов, полученных в таких сечениях.

Типичные ошибки

Ошибка — называть двугранным углом только плоский угол между двумя прямыми. Её допускают, потому что меру двугранного угла в итоге выражают обычным плоским углом. Проверьте себя: в определении фигуры должны быть две полуплоскости и общая граничная прямая, а плоский угол появляется только при измерении.

Ошибка — считать ребром луч или отрезок. Так бывает, когда в чертеже показана лишь часть прямой или отмечена точка, через которую проводят сечение. Проверьте, что именно является общей границей обеих граней: это прямая, даже если изображён только её фрагмент.

Ошибка — измерять двугранный угол между произвольными лучами, проведёнными в гранях. Такие лучи могут иметь разные направления, поэтому образованный ими угол не обязательно является линейным. Проверьте оба условия: лучи лежат в соответствующих гранях, выходят из одной точки ребра и перпендикулярны ребру.

Ошибка — полагать, что мера меняется при выборе другой точки или сечения. Путаница возникает из-за того, что на рисунке разные сечения могут выглядеть неодинаково. Проверьте, перпендикулярны ли оба сечения одному ребру и построены ли в них линейные углы: такие углы равны, поэтому мера двугранного угла сохраняется.

Связь с другими темами

Для работы с двугранным углом нужно понимать, что такое прямая, плоскость и полуплоскость, а также знать перпендикулярность прямых и плоскостей. Измерение опирается на уже знакомый плоский угол: линейный угол можно измерить теми же способами, что и любой угол между лучами. Позже понятие поможет изучать углы между плоскостями и решать задачи о многогранниках. В таких задачах их грани образуют двугранные углы вдоль общих рёбер.

Что запомнить

• Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
• Общая граничная прямая граней называется ребром.
• Линейный угол получают в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру.
• Стороны линейного угла лежат в гранях двугранного угла.
• Мера двугранного угла равна мере его линейного угла.
• Линейные углы одного двугранного угла равны.