§ 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскости называют его гранями, а общую прямую — ребром двугранного угла. Это пространственный аналог плоского угла: он описывает, как расположены друг относительно друга две грани.

Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Линейный угол образован лучами, которые лежат в гранях и перпендикулярны ребру. Такое измерение позволяет заменить пространственную фигуру обычным плоским углом.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — меньший из двугранных углов, которые образуют эти плоскости. Его величина лежит от 0° до 90° включительно. Это определение нужно, чтобы однозначно сравнивать плоскости: из двух смежных углов всегда выбирают меньший.

Перпендикулярные плоскости — плоскости, угол между которыми равен 90°. Значит, для доказательства перпендикулярности достаточно установить, что соответствующий линейный угол прямой. Это определение связывает взаимное расположение плоскостей с измеримым плоским углом.

Как это устроено

Если две плоскости пересекаются, их общая часть — прямая, которая становится ребром образованных двугранных углов. Каждая плоскость разделяет пространство на два полупространства, и выбор стороны для каждой из двух плоскостей даёт четыре сочетания. Поэтому возникают четыре двугранных угла. Противоположные углы равны, поскольку их грани образованы теми же плоскостями, но выбраны по разные стороны ребра; соседние углы дополняют друг друга до 180°.

Чтобы построить линейный угол, выберите точку на ребре и проведите из неё в каждой грани луч, перпендикулярный ребру. Лучи лежат в разных плоскостях, а угол между ними можно измерить обычным способом. Именно перпендикулярность ребру делает этот угол линейным: при сечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру, грани пересекаются по этим лучам. Получившийся плоский угол и задаёт величину всего двугранного угла.

Для измерения можно взять любую точку на ребре, потому что результат от её выбора не меняется. Перпендикулярные ребру лучи в одной грани при переносе вдоль прямой остаются параллельными соответствующим лучам; то же верно для другой грани. Угол между двумя парами параллельных лучей одинаков. Значит, линейные углы, построенные в разных точках ребра, равны, и величина двугранного угла определена однозначно.

Чтобы найти угол между плоскостями, сначала рассматривают двугранные углы, которые они образуют, а затем выбирают меньший. Его величина совпадает с величиной линейного угла, построенного в этом двугранном угле. Если один из линейных углов тупой, рядом с ним есть смежный острый; для угла между плоскостями берут именно его. Например, при тупом угле 128° меньший угол равен 180° − 128° = 52°.

Перпендикулярность плоскостей можно установить по прямой, перпендикулярной одной из них. Если эта прямая лежит в другой плоскости, то угол между плоскостями равен 90°, поэтому плоскости перпендикулярны. Для применения признака линейного угла действуют иначе: в каждой плоскости проводят прямую, перпендикулярную ребру пересечения, и находят угол между этими прямыми. Если он равен 90°, то он служит линейным углом двугранного угла, а значит, и углом между плоскостями.

Двугранный угол и угол между плоскостями

Сначала определите, что требуется измерить: отдельный двугранный угол или угол между плоскостями. Затем проверьте, выбран ли меньший угол, и найдите его линейный угол. Таблица помогает не путать полный диапазон двугранного угла с диапазоном угла между плоскостями.

Разбор задач

Задача 1. В двугранном угле из точки ребра проведены два луча в его гранях, перпендикулярные ребру. Угол между лучами равен 47°. Найдите величину двугранного угла.

1. Проверяем условие измерения: оба луча лежат в гранях и перпендикулярны ребру.
2. Значит, угол между лучами является линейным углом двугранного угла.
3. Величины линейного и двугранного углов равны, поэтому искомая величина составляет 47°.

Ответ: 47°. Здесь не нужно вычислять смежный угол: задача спрашивает величину именно заданного двугранного угла.

Задача 2. Две плоскости пересекаются. Один из образованных линейных углов равен 128°. Найдите угол между плоскостями.

1. Угол между плоскостями по определению должен быть меньшим из образованных углов.
2. Смежный с углом 128° угол равен 180° − 128° = 52°.
3. Так как 52° меньше 128° и не превосходит 90°, именно он является углом между плоскостями.

Ответ: 52°. Проверка: смежные углы в сумме дают 180°, а угол между плоскостями не может быть тупым.

Задача 3. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. В плоскости α проведена прямая a, перпендикулярная l; в плоскости β — прямая b, также перпендикулярная l. Угол между a и b равен 90°. Найдите угол между α и β и обоснуйте ответ.

1. Прямые a и b лежат в соответствующих плоскостях и обе перпендикулярны их общей прямой l.
2. Следовательно, угол между a и b является линейным углом двугранного угла, образованного α и β.
3. Его величина равна 90°, поэтому меньший двугранный угол, то есть угол между плоскостями, тоже равен 90°.

Ответ: 90°; плоскости α и β перпендикулярны.

Типичные ошибки

Считать ребро двугранного угла его линейным углом — неверно: ребро является общей границей граней, а не плоским углом. Путаница возникает из-за того, что ребро задаёт положение всего двугранного угла. Проверьте себя: линейный угол должен быть образован двумя лучами в гранях.

Нельзя измерять двугранный угол произвольным углом между прямыми в его гранях. Такой угол является линейным только тогда, когда обе прямые перпендикулярны ребру; иначе он не задаёт нужного сечения. Перед измерением проверьте принадлежность прямых граням и их перпендикулярность ребру.

Угол между плоскостями не выбирают тупым, даже если такой угол дан в условии. Его допускают по ошибке, забывая, что определение требует меньший из двух смежных углов. Найдите смежный угол вычитанием из 180° и убедитесь, что ответ не больше 90°.

Наличие перпендикулярных прямых в двух плоскостях само по себе не доказывает перпендикулярность плоскостей. Эти прямые могут быть расположены произвольно и не образовывать линейный угол. Проверьте, что обе прямые перпендикулярны ребру пересечения; либо используйте признак с прямой, перпендикулярной другой плоскости.

Связь с другими темами

Для построения линейного угла нужны знания о перпендикулярности прямых и плоскостей, свойствах перпендикулярных прямых и измерении плоских углов. Они помогают обосновать, почему выбранные лучи действительно задают сечение двугранного угла. Угол между плоскостями дальше используют при изучении перпендикулярности плоскостей, расстояний и углов в многогранниках. Поэтому навык находить линейный угол пригодится при решении пространственных задач.

Что запомнить

• Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
• Общая граничная прямая двугранного угла называется его ребром.
• Линейный угол образуют лучи в гранях, перпендикулярные ребру.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Угол между плоскостями — меньший из образованных ими двугранных углов.
• Перпендикулярные плоскости образуют угол 90°.