13.2. Свойства параллельных плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это две плоскости, которые не имеют общих точек. Записывают: α ∥ β. Такое обозначение позволяет сразу использовать свойства параллельных плоскостей.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, проведённого от точки одной плоскости до другой. Перпендикуляр показывает кратчайшее расстояние между плоскостями.

Линии пересечения — это прямые, по которым третья плоскость пересекает каждую из двух данных. Если γ пересекает α по a, а β по b, то a и b называют линиями пересечения.

Отрезок между плоскостями на прямой — часть прямой, заключённая между точками её пересечения с двумя плоскостями. Именно такие отрезки сравнивают, когда доказывают их равенство.

Как это устроено

Пусть плоскость γ пересекает параллельные плоскости α и β по прямым a и b. Если бы a и b пересекались, их общая точка лежала бы в γ, а также принадлежала бы α и β. Тогда α и β имели бы общую точку, поэтому a ∥ b.

Чтобы применить это свойство в задаче, сначала найдите третью плоскость, пересекающую обе данные плоскости. Затем назовите две линии пересечения: одну с первой плоскостью, другую со второй. После этого можно перенести вывод о параллельности на нужные прямые, если именно они являются этими линиями.

Рассмотрим две параллельные прямые, пересекающие параллельные плоскости α и β. Вместе с отрезками на плоскостях они образуют фигуру, в которой боковые стороны параллельны. Поэтому соответствующие отрезки между α и β равны: обе прямые проходят между одними и теми же плоскостями.

Перпендикуляр проводят так: выбирают точку A на α и через неё проводят прямую, перпендикулярную α. Она пересечёт β в точке B, а AB будет искомым отрезком. Поскольку плоскости параллельны, этот перпендикуляр перпендикулярен и β.

Длина AB не зависит от выбора точки A на первой плоскости. Если провести такой же перпендикуляр из другой точки, получившиеся отрезки можно связать параллельными перемещениями и получить прямоугольник или прямоугольный параллелепипед. Его противоположные стороны равны, поэтому все перпендикуляры между данными параллельными плоскостями имеют одну длину.

Свойства параллельных плоскостей

Сначала сопоставьте условие задачи с первым столбцом таблицы. Затем используйте вывод из второго столбца, а третий подскажет, какие объекты нужно назвать или сравнить.

Особенно внимательно проверяйте параллельность: она должна быть указана или доказана. Одного расположения объектов на чертеже недостаточно.

Разбор задач

Задача 1. Плоскости α и β параллельны, а плоскость γ пересекает их по прямым a и b. Докажем, что a ∥ b.

1. Плоскость γ является третьей плоскостью, пересекающей обе параллельные плоскости.
2. По условию a = γ ∩ α, а b = γ ∩ β. Значит, a и b — линии пересечения γ с α и β.
3. Если бы a и b пересекались, общая точка принадлежала бы α и β. Это противоречит условию α ∥ β.

Ответ: a ∥ b.

Задача 2. Две параллельные плоскости пересекают параллельные прямые. На первой прямой отрезок между точками пересечения равен 7 см. Найдём соответствующий отрезок на второй прямой.

1. Прямые параллельны и обе пересекают одни и те же параллельные плоскости.
2. Следовательно, отрезки этих прямых, заключённые между плоскостями, равны.
3. Отрезок на второй прямой имеет ту же длину: 7 см.

Ответ: 7 см.

Задача 3. Даны α ∥ β и параллельные прямые a и b, пересекающие обе плоскости. Отрезок между плоскостями на a равен 5 см. Найдём отрезок на b.

1. Обозначим точки пересечения a с α и β через A и A₁, а точки пересечения b с ними — через B и B₁.
2. Отрезки AA₁ и BB₁ заключены между одними и теми же параллельными плоскостями.
3. Так как a ∥ b, по свойству параллельных прямых AA₁ = BB₁. Поэтому BB₁ = 5 см.

Ответ: длина отрезка на b равна 5 см.

Типичные ошибки

Считать линии пересечения параллельными без указания третьей плоскости — ошибка. Такой вывод верен только после проверки, что одна плоскость пересекает обе параллельные плоскости. Проверьте, названы ли обе линии и плоскость, в которой они лежат.

Параллельность плоскостей не означает параллельность любых прямых в них. Внутри каждой плоскости могут быть пересекающиеся прямые. Проверяйте направление конкретных прямых или применяйте теорему о линиях пересечения.

Нельзя приравнивать отрезки на непараллельных прямых. Свойство работает только для параллельных прямых, пересекающих обе плоскости. Перед вычислением выпишите все эти условия.

Наклонный отрезок не следует называть расстоянием между плоскостями. Расстояние измеряют перпендикуляром. Убедитесь, что угол с плоскостью равен 90°.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны определения параллельных прямых и плоскостей, а также признак параллельности плоскостей. Эти знания помогают распознавать нужную конфигурацию в пространственном чертеже.

Свойства применяются в задачах на параллельность прямых и плоскостей, построение сечений и нахождение расстояний в пространстве. Они связывают геометрические рассуждения с вычислением длин.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Если третья плоскость пересекает две параллельные, линии пересечения параллельны.
• Параллельные прямые отсекают на параллельных плоскостях равные отрезки.
• Расстояние между параллельными плоскостями измеряют по перпендикуляру.
• Перед применением свойства проверь все его условия.