"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Параллельные плоскости не имеют общих точек, но их можно пересечь третьей плоскостью и сравнить отрезки между ними. Если секущая плоскость пересекает обе плоскости, линии пересечения параллельны. А на параллельных прямых параллельные плоскости отсекают равные отрезки. Эти свойства помогают обосновывать расположение прямых и находить длины в пространственных фигурах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные плоскости — это плоскости, не имеющие общих точек. Их обозначают α ∥ β, где α и β — названия плоскостей. Это определение позволяет отличать параллельные плоскости от пересекающихся и сразу использовать следствие: точка одной из них не может принадлежать другой.
Секущая плоскость — плоскость, которая пересекает каждую из двух рассматриваемых плоскостей. Например, плоскость γ может пересекать α и β, хотя сами α и β параллельны. Секущая нужна, чтобы получить в одной плоскости две линии и сравнить их расположение.
Линиями пересечения называют прямые, по которым секущая плоскость пересекает исходные плоскости. Если γ пересекает α по прямой a, а β — по прямой b, то a и b лежат в γ. Обозначения помогают не путать линии пересечения с плоскостями, в которых они находятся.
Отрезок между параллельными плоскостями — часть прямой, заключённая между точками её пересечения с этими плоскостями. Его концы лежат в разных плоскостях, а сама прямая проходит через обе. Такой отрезок рассматривают, когда сравнивают расстояния между плоскостями на нескольких параллельных прямых.
Пусть третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по прямым a и b. Обе прямые лежат в секущей плоскости, поэтому они либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. Пересечься они не могут: их общая точка тогда принадлежала бы обеим исходным плоскостям, вопреки условию α ∥ β. Совпасть тоже не могут, поскольку одна и та же прямая оказалась бы в обеих параллельных плоскостях; значит, a и b параллельны.
Докажем равенство отрезков, которые параллельные плоскости отсекают на двух параллельных прямых. Проведём плоскость через эти прямые: она пересечёт исходные плоскости по двум параллельным прямым, поскольку плоскости параллельны. В полученной плоской фигуре отрезки на исходных прямых соединяют соответствующие точки этих параллельных прямых. Эти отрезки параллельны друг другу и вместе с линиями пересечения образуют параллелограмм, а у него противоположные стороны равны.
Теперь результат можно применить к любым двум параллельным прямым, пересекающим обе плоскости. Через них проходит плоскость, и её линии пересечения с исходными плоскостями параллельны по предыдущему свойству. Поэтому рассуждение с параллелограммом повторяется, даже если прямые расположены в пространстве не в какой-то заранее выбранной плоскости. Отрезки между плоскостями на этих прямых равны.
Эти свойства помогают разбирать пространственные фигуры. Если в фигуре известны две параллельные плоскости и секущая, можно сразу установить параллельность полученных линий; если на параллельных прямых известна длина одного отрезка, можно найти другой. В призме, например, параллельные основания пересекаются боковыми плоскостями по соответствующим параллельным прямым. Так геометрические отношения позволяют обосновать вывод, а не просто увидеть его на рисунке.
У каждого вывода есть необходимые условия. Для параллельности линий пересечения третья плоскость должна пересекать обе исходные плоскости, а для равенства отрезков сравниваемые прямые должны быть параллельны и пересекать обе плоскости. Если хотя бы одно условие не выполнено, теорему нельзя применять автоматически. Проверка условий помогает выбрать верный способ и избежать неверного равенства.
| Условия | Что следует | Обоснование или способ применения |
|---|---|---|
| Две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью | Линии пересечения параллельны | Они лежат в одной плоскости и не пересекаются, иначе возникла бы общая точка исходных плоскостей. |
| Две параллельные плоскости пересечены параллельными прямыми | Отрезки между плоскостями на этих прямых равны | Рассматривают плоскость через прямые; в полученной фигуре используют свойства параллелограмма. |
| Практическое применение свойства отрезков | Можно найти неизвестную длину или проверить равенство отрезков | Приравнивают длины только после проверки, что прямые параллельны и пересекают обе плоскости. |
Сначала найдите в условии две параллельные плоскости и определите, что именно пересекает их: третья плоскость или параллельные прямые. Затем выберите подходящую строку таблицы и проверьте все условия. Если нужно найти длину, запишите равенство отрезков и решите полученное уравнение.
Условие. Плоскости α и β параллельны, а плоскость γ пересекает их по прямым a и b. Требуется определить взаимное расположение a и b. Здесь важно не сравнивать случайные прямые, а использовать то, что обе получены пересечением одной и той же секущей плоскостью с параллельными плоскостями.
Ответ: a ∥ b. Совпадение также исключено: тогда одна прямая принадлежала бы сразу двум плоскостям с общими точками.
Условие. Параллельные плоскости пересекают параллельные прямые в точках A, B и C, D соответственно; AB = 7 см. Найти CD. Сначала установим, что именно означают пары точек: A и B лежат на одной прямой, C и D — на другой, а каждый искомый отрезок ограничен плоскостями.
Ответ: CD = 7 см. Если бы прямые не были параллельны, одного значения AB было бы недостаточно для вывода о длине CD.
Условие. Две параллельные плоскости пересекают три параллельные прямые. Отрезки между плоскостями равны 5 см, x + 1 см и 2x − 4 см. Нужно найти x и длины отрезков. Так как прямые параллельны и каждая пересекает обе плоскости, все три отрезка имеют одинаковую длину.
Ответ: такого набора отрезков не существует. При трёх параллельных прямых значения должны быть равны между собой, а числа 5 см и 6 см не равны. Проверка показывает, что уравнение для двух выражений решается, но полученное значение не согласуется с первым отрезком; положительность всех длин противоречие не устраняет.
Ошибка — объявлять линии пересечения параллельными без проверки условий. Обычно запоминают формулировку теоремы, но забывают, что речь идёт о двух параллельных плоскостях и одной плоскости, пересекающей обе. Проверьте, что именно эти объекты даны в задаче; если секущая не пересекает одну из плоскостей, вывод неприменим.
Иногда параллельность линий пересечения путают с их совпадением. Это кажется возможным, потому что обе линии лежат в секущей плоскости, однако каждая принадлежит своей исходной плоскости. Если бы линии совпали, общая прямая дала бы исходным плоскостям общие точки. Для самопроверки вспомните определение параллельных плоскостей: общих точек у них нет.
Нельзя переносить равенство отрезков на непараллельные прямые. Ошибку допускают, принимая свойство за правило для любых отрезков между одними и теми же плоскостями. Сравните направление прямых в условии: если они не параллельны, равенство этим свойством обосновать нельзя.
Не следует считать равными любые отрезки, соединяющие две параллельные плоскости. Удобно представить, что раз плоскости параллельны, то и все расстояния между ними одинаковы, но теорема здесь относится к отрезкам на параллельных прямых. Перед тем как приравнять длины, проверьте параллельность прямых и то, что каждая пересекает обе плоскости.
Для этой темы нужны определения параллельных прямых и плоскостей, а также свойство прямых в одной плоскости: если они не пересекаются, то параллельны. Оно используется в доказательстве, когда линии пересечения оказываются в секущей плоскости и выясняется, что общей точки у них быть не может. Поэтому полезно сначала определить, в каких плоскостях лежат рассматриваемые прямые.
Свойства параллельных плоскостей применяются при изучении призм и параллелепипедов, где основания или грани параллельны. Они также помогают решать задачи о параллельности прямых и длинах отрезков в пространстве. В таких задачах вывод о пространственном расположении часто сводится к знакомым отношениям внутри плоскости.
Почему линии пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью параллельны?
Обе линии лежат в одной секущей плоскости. Если бы они пересекались, их общая точка принадлежала бы сразу двум исходным плоскостям, но параллельные плоскости общих точек не имеют. Поэтому линии не пересекаются и, лежа в одной плоскости, параллельны.
Могут ли две параллельные плоскости иметь общую точку?
Нет. По определению параллельные плоскости не имеют общих точек. Если бы хотя бы одна общая точка была, плоскости пересекались бы или совпадали, а не были параллельными.
На каких прямых параллельные плоскости отсекают равные отрезки?
На параллельных прямых, пересекающих обе плоскости. Между точками пересечения каждой такой прямой с плоскостями получается отрезок той же длины. Для произвольных, не параллельных друг другу прямых это свойство не гарантируется.
Будут ли равны отрезки между параллельными плоскостями на непараллельных прямых?
Не обязательно: отрезки на непараллельных прямых могут иметь разные длины. Свойство равенства применимо только тогда, когда сравниваемые прямые параллельны и пересекают обе плоскости. Поэтому сначала проверяют условие о параллельности прямых.
Как определить, какое свойство параллельных плоскостей использовать в задаче?
Если в условии есть две параллельные плоскости и третья плоскость, которая пересекает обе, ищите параллельность линий пересечения. Если плоскости пересекают несколько параллельных прямых, используйте равенство отрезков между плоскостями. Перед применением свойства проверьте все его условия.
3.2. Свойства параллельных плоскостей
