12. Свойства параллельных плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — это плоскости, которые не имеют общих точек. Их обозначают α ∥ β. В отличие от пересекающихся плоскостей, они не образуют общей прямой; это понятие позволяет описывать расположение поверхностей в пространстве.

Секущая плоскость — плоскость, которая пересекает каждую из двух заданных параллельных плоскостей по прямой. Эти прямые называются линиями пересечения. Понятие секущей нужно, чтобы сравнивать расположение двух плоскостей через их следы в одной общей плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, заключённого между ними, то есть отрезка, проведённого от одной плоскости к другой под прямым углом. Такое расстояние постоянно: оно не меняется при выборе точки на плоскости. Поэтому для измерения нельзя брать произвольный наклонный отрезок.

Отрезки между параллельными плоскостями на параллельных прямых — это части прямых, ограниченные точками их пересечения с обеими плоскостями. Если прямые параллельны друг другу, такие отрезки равны. Это позволяет находить неизвестную длину по известной, но только после проверки параллельности прямых и плоскостей.

Как это устроено

Пусть две параллельные плоскости пересечены третьей. Линии пересечения лежат в третьей плоскости, значит, если бы они пересекались, у них нашлась бы общая точка. Эта точка одновременно принадлежала бы обеим исходным плоскостям, но у параллельных плоскостей общих точек нет. Следовательно, линии пересечения не пересекаются, а в одной плоскости непересекающиеся прямые параллельны.

Чтобы понять, почему перпендикуляры между параллельными плоскостями равны, можно сравнить два таких отрезка. Они направлены одинаково, поскольку каждый перпендикулярен одной и той же паре параллельных плоскостей. Если соединить их концы отрезками, лежащими в плоскостях, получится прямоугольник: его противоположные стороны параллельны, а углы прямые. Поэтому перпендикуляры — равные противоположные стороны прямоугольника.

Расстояние не зависит от точки, из которой опущен перпендикуляр, по той же причине: любой такой отрезок соединяет плоскости в одном и том же перпендикулярном направлении. Можно выбрать любую точку первой плоскости и провести из неё перпендикуляр ко второй. Полученная длина совпадёт с длиной перпендикуляра, проведённого из другой точки, поэтому у пары плоскостей одно определённое расстояние.

Равенство отрезков на параллельных прямых объясняется построением параллелограмма. Плоскость, содержащая эти прямые, пересекает исходные плоскости по двум параллельным линиям. На каждой из двух прямых отрезок между линиями пересечения является стороной получившегося четырёхугольника. Его противоположные стороны лежат на параллельных прямых, а соединяющие их стороны — на параллельных линиях пересечения; значит, четырёхугольник является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны.

В пространственных чертежах эти свойства помогают получать выводы, которые не всегда очевидны по изображению. Например, если известны параллельные плоскости и указана секущая, можно доказать параллельность линий пересечения, не измеряя углы на рисунке. Если известна длина перпендикуляра или отрезка на параллельной прямой, можно определить расстояние или длину соответствующего отрезка. Каждый раз сначала нужно установить, что выполнены условия нужного свойства.

Свойства параллельных плоскостей

Пользуйся таблицей как схемой «условие — вывод — применение». Сначала найди в условии задачи нужную комбинацию параллельных объектов, затем выбери соответствующее свойство. Если хотя бы одно условие не выполнено или не доказано, вывод делать нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Плоскости α и β параллельны, а плоскость γ пересекает их по прямым a и b. Докажите, что a ∥ b.

1. По условию a и b — линии пересечения секущей плоскости γ с плоскостями α и β. Значит, обе прямые лежат в одной плоскости γ.
2. Предположим, что a и b пересекаются в точке X. Так как X принадлежит γ и обеим линиям пересечения, она принадлежит и α, и β.
3. Это невозможно: α и β параллельны и не имеют общих точек. Значит, a и b не пересекаются, а лежащие в одной плоскости непересекающиеся прямые параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 2. Параллельные плоскости пересечены перпендикуляром длиной 7 см. Каково расстояние между плоскостями? Объясните ответ.

1. По определению расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра, проведённого от одной плоскости к другой.
2. В условии дан именно такой перпендикуляр, и его длина составляет 7 см. Следовательно, отдельно вычислять или корректировать эту длину не нужно.
3. Записываем искомое расстояние в тех же единицах измерения, что и длину перпендикуляра.

Ответ: 7 см.

Задача 3. Две параллельные плоскости пересекают параллельные прямые в точках A и B, C и D соответственно. Если AB = 5 см, найдите CD и обоснуйте равенство.

1. Отрезки AB и CD заключены между одной и той же парой параллельных плоскостей. По условию прямые, на которых они лежат, параллельны.
2. Значит, применимо свойство: отрезки параллельных прямых между двумя параллельными плоскостями равны. Поэтому CD = AB.
3. Подставляем известную длину AB: CD = 5 см. Обоснование опирается сразу на два условия — параллельность плоскостей и параллельность прямых.

Ответ: CD = 5 см.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любые две прямые, лежащие в параллельных плоскостях, параллельны. Так ошибаются, перенося свойство линий пересечения с одной секущей на произвольные прямые. Проверка: обе прямые должны быть пересечениями именно одной секущей плоскости с двумя параллельными плоскостями.

Ошибка — принимать длину любого отрезка между плоскостями за расстояние между ними. Наклонный отрезок обычно длиннее перпендикуляра, поэтому такой выбор даёт неверный результат. Проверь, образует ли отрезок прямой угол с плоскостью; расстояние измеряют только по перпендикуляру.

Ошибка — применять равенство отрезков к прямым, которые не параллельны. Равенство может казаться правдоподобным по рисунку, но для непараллельных прямых оно не следует из данного свойства. Перед вычислением отдельно проверь параллельность прямых и то, что обе пересекают одну и ту же пару параллельных плоскостей.

Ошибка — считать плоскости или прямые параллельными только по их виду на чертеже. Пространственный рисунок условен: реальные параллельные объекты могут быть изображены под наклоном, а непараллельные — выглядеть параллельными. Проверяй параллельность по условию или доказывай её с помощью известного признака, а не измерением на изображении.

Связь с другими темами

Для изучения свойств параллельных плоскостей нужны определения параллельных прямых и плоскостей, а также признак параллельности прямой и плоскости. Тема связывает свойства параллельных прямых и перпендикуляров с взаимным расположением плоскостей в пространстве. Позже эти результаты пригодятся в задачах на сечения многогранников, доказательство параллельности и вычисление расстояний.

Что запомнить

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, линии пересечения параллельны.
• Расстояние между параллельными плоскостями измеряют по перпендикуляру.
• Все перпендикуляры между одной парой параллельных плоскостей равны.
• Отрезки параллельных прямых между двумя параллельными плоскостями равны.
• При применении свойств важно проверить все условия теоремы.