11. Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — плоскости, которые не пересекаются. В пространстве это означает, что у них нет ни одной общей точки, а не только то, что они не пересекаются на изображённом фрагменте чертежа. Обычно для таких плоскостей пишут α ∥ β. Это понятие нужно, чтобы описывать взаимное расположение плоскостей и формулировать результат о построении новой плоскости.

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной. В построении искомой плоскости такими прямыми заменяют две выбранные прямые исходной плоскости: новые прямые проходят через заданную точку и определяют нужное направление.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, содержащая обе прямые. У них есть общая точка, но они не совпадают, поэтому вместе задают ровно одну плоскую поверхность. Это свойство позволяет определить искомую плоскость по двум построенным прямым и отличает корректное построение от попытки задать её одной прямой.

Как это устроено

Пусть дана плоскость α и точка M вне неё. Сначала внутри α выбирают две пересекающиеся прямые a и b. Удобно взять именно пересекающиеся прямые, потому что они однозначно задают плоскость и дают пару направлений, по которым можно построить новую. Точка M не принадлежит α, поэтому построенная через неё плоскость не совпадёт с исходной.

Через M проводят прямые a₁ и b₁ так, чтобы a₁ ∥ a, а b₁ ∥ b. Каждую такую прямую можно провести: в пространстве через заданную точку проходит единственная прямая, параллельная выбранной. Поскольку a и b пересекаются и не параллельны, направления a₁ и b₁ различны. Обе новые прямые проходят через M, значит, пересекаются именно в этой точке.

Пересекающиеся a₁ и b₁ задают плоскость β. Для проверки параллельности сравнивают прямые в двух плоскостях: a и b лежат в α, а a₁ и b₁ — в β; при этом a ∥ a₁ и b ∥ b₁. По критерию параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Следовательно, β ∥ α.

Остаётся показать, что плоскость только одна. Предположим, через M проходит другая плоскость γ, параллельная α. В ней должны лежать прямые, проходящие через M и параллельные a и b: иначе γ пересекла бы α или не удовлетворяла бы критерию параллельности. Через M для каждого из этих направлений можно провести только одну прямую, поэтому это те же a₁ и b₁. Они задают единственную плоскость β, значит, γ совпадает с β.

Таким образом, существование получено явным построением, а единственность — сравнением любой возможной плоскости с построенной. Оба шага необходимы: чтобы доказать утверждение «ровно одна», мало показать, что подходящую плоскость можно построить. Итог: через точку вне данной плоскости проходит ровно одна плоскость, параллельная данной.

Построение и обоснование плоскости, параллельной данной

Пользуйся таблицей как планом доказательства: сначала укажи, что строишь, затем объясни, почему каждый шаг допустим. В заключении отдельно проверь параллельность плоскостей и отдельно докажи единственность. Эти проверки отвечают на разные вопросы.

Разбор задач

Задача 1. Построение плоскости

Дана плоскость α и точка M вне неё. Опишите построение плоскости через M, параллельной α. Нужно получить не просто пару прямых, а плоскость, параллельность которой исходной можно обосновать. Поэтому построение начинается с двух пересекающихся прямых в α.

1. Выберем в α пересекающиеся прямые a и b. Они нужны, чтобы получить два направления и затем однозначно определить плоскость.
2. Через M проведём прямую a₁, параллельную a, и прямую b₁, параллельную b. Такие прямые существуют и единственны, поскольку для каждой задано направление и точка M.
3. Прямые a₁ и b₁ пересекаются в M и задают плоскость β. По критерию параллельности плоскостей β ∥ α: в них лежат соответственно параллельные пары прямых.

Ответ: плоскость β, проходящая через a₁ и b₁, является искомой. Построение использует только прямые, проведённые через M параллельно выбранным прямым α.

Задача 2. Обоснование непересечения

Обоснуйте, что построенная через M плоскость не пересекает α. Одного вида чертежа недостаточно: на нём нельзя проверить все точки плоскостей. Нужно установить пространственное соотношение по прямым, которые лежат в каждой из них.

1. Обозначим исходные пересекающиеся прямые через a и b, а построенные через M — через a₁ и b₁.
2. По построению a₁ ∥ a и b₁ ∥ b. Прямые a и b пересекаются в α; a₁ и b₁ пересекаются в β.
3. Применим критерий параллельности плоскостей: двум пересекающимся прямым α соответствуют параллельные им прямые β. Следовательно, β параллельна α, то есть плоскости не имеют общих точек.

Ответ: β не пересекает α по критерию параллельности плоскостей. Параллельность установлена свойствами пар прямых, а не внешним видом чертежа.

Задача 3. Единственность

Докажите, что через точку M вне α нельзя провести две различные плоскости, параллельные α. Сначала полезно предположить, что таких плоскостей две, а затем выяснить, какие прямые должны лежать в каждой из них. Выберем в α пересекающиеся прямые a и b.

1. Пусть β и γ проходят через M и параллельны α. В каждой должны находиться прямые через M, параллельные a и b.
2. Через M можно провести только одну прямую, параллельную a, и только одну, параллельную b. Поэтому обе плоскости должны содержать одни и те же прямые a₁ и b₁.
3. Поскольку a₁ и b₁ пересекаются, они задают единственную плоскость. Значит, β и γ совпадают, что противоречит предположению об их различии.

Ответ: двух различных плоскостей, проходящих через M и параллельных α, быть не может. Вместе с построением это доказывает, что такая плоскость существует ровно одна.

Типичные ошибки

• Провести через точку только одну прямую, параллельную прямой исходной плоскости, и считать, что плоскость уже построена. Одна прямая входит во множество плоскостей, поэтому она не определяет единственную. Проверь себя: назвал ли ты две пересекающиеся прямые, задающие результат?

• Выбрать в исходной плоскости две параллельные прямые вместо пересекающихся. Такие прямые не дают требуемой пары пересекающихся прямых, по которой в построении определяется единственная плоскость. Проверь, что выбранные прямые действительно имеют общую точку и не совпадают.

• Объявить плоскости параллельными только потому, что на чертеже они выглядят непересекающимися. Рисунок показывает лишь часть пространства и не доказывает отсутствие общих точек. Проверь себя: применён ли критерий через две пары параллельных прямых?

• Доказать, что плоскость можно построить, но не рассмотреть другие возможные плоскости. Так установлено существование, а не утверждение «ровно одна». Проверь доказательство: показано ли, что любая плоскость с нужным свойством содержит те же построенные прямые?

Связь с другими темами

Для доказательства используется известное свойство: через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Также понадобится умение провести через точку прямую, параллельную заданной, и применять свойства параллельных прямых. Эти знания помогают обосновать оба этапа построения: появление искомой плоскости и её параллельность исходной. Результат пригодится при изучении взаимного расположения плоскостей и в доказательствах пространственных задач.

Что запомнить

• В данной плоскости для построения выбирают две пересекающиеся прямые.

• Через заданную точку проводят прямые, параллельные выбранным.

• Две пересекающиеся построенные прямые задают искомую плоскость.

• Построенная плоскость параллельна исходной.

• Через точку вне плоскости проходит ровно одна параллельная ей плоскость.