10. Признак параллельности плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — две плоскости, которые не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Совпадающие плоскости параллельными не считают: у них общих точек бесконечно много, ведь это одна и та же плоскость. Такое различие нужно, чтобы под параллельностью понимать именно расположение двух отдельных плоскостей.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. Для признака важно, чтобы пересекались две прямые, лежащие в одной и той же плоскости. Они задают в ней два разных направления, и именно это помогает отличить плоскости, которые не пересекаются, от плоскостей, имеющих общую прямую.

Признак параллельности плоскостей — утверждение: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Обычно условие записывают попарно: a ∥ a₁ и b ∥ b₁, где a и b пересекаются. Признак нужен, чтобы доказать параллельность плоскостей через прямые, не исследуя каждую точку.

Как это устроено

Рассмотрим плоскости α и β. В α выберем пересекающиеся прямые a и b, а в β — прямые a₁ и b₁ так, чтобы a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Если направление каждой из двух пересекающихся прямых α встречается и в β, то у плоскостей есть два общих направления. Два направления, заданные пересекающимися прямыми, позволяют зафиксировать расположение всей плоскости, а не только одной линии.

Соответствие прямых нельзя пропускать. Прямая a должна быть параллельна именно a₁, а b — именно b₁; недостаточно заметить, что где-то в плоскостях нашлись две пары параллельных линий. Если сопоставить их неверно, условие признака не выполнено. Поэтому перед выводом удобно прямо записать обе пары и проверить, что a и b действительно пересекаются.

Идею доказательства можно понять от противного. Допустим, что α и β всё-таки пересекаются, и обозначим их общую прямую через c. Тогда направления, общие обеим плоскостям, должны согласовываться с направлением c: внутри каждой плоскости общие направления с другой плоскостью могут идти только вдоль линии их пересечения. Это означает, что направления a и b должны были бы совпасть с направлением c.

Но a и b пересекаются и потому имеют разные направления: две пересекающиеся прямые не параллельны друг другу. Одна общая прямая c не может оказаться параллельной сразу обеим таким прямым. Полученное противоречие показывает, что предположение о пересечении плоскостей неверно; значит, плоскости не пересекаются и параллельны.

В задачах признак используют именно как короткий способ доказательства. Не нужно проверять, куда попадает каждая точка α и β: достаточно указать две пересекающиеся прямые одной плоскости и две соответствующие им параллельные прямые другой. После проверки этих условий можно заключить, что плоскости параллельны. Если же одна пара не найдена или прямые первой плоскости не пересекаются, этот вывод делать нельзя.

Условия и вывод признака параллельности плоскостей

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала убедитесь, что нужные прямые одной плоскости пересекаются. Затем запишите соответствие параллельных прямых попарно. Только после этого формулируйте вывод о плоскостях.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α прямые a и b пересекаются. В плоскости β проведены прямые a₁ и b₁, причём a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β. Здесь все условия признака уже даны, поэтому задача проверяет, умеем ли мы связать их с нужным выводом.

1. Выпишем условие о расположении прямых: a и b лежат в α и пересекаются. Это обязательная часть признака, поэтому её нельзя заменить утверждением, что прямые просто принадлежат одной плоскости.

2. Сопоставим прямые: a параллельна a₁, а b параллельна b₁; обе прямые a₁ и b₁ лежат в β. Значит, для каждой пересекающейся прямой α найдена соответствующая параллельная ей прямая β.

3. Применим признак параллельности плоскостей. Все его условия выполнены, поэтому α ∥ β. Дополнительных построений или проверки отдельных точек не требуется.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2

В параллелепипеде требуется доказать, что плоскость одной грани параллельна плоскости противоположной грани. У противоположных граней есть рёбра, параллельные попарно, но для применения признака нужно ещё выбрать в одной грани две пересекающиеся стороны. Пусть выбранная грань — ABCD, а противоположная — A₁B₁C₁D₁.

1. Возьмём в ABCD стороны AB и AD. Они пересекаются в точке A, так что условие о двух прямых первой плоскости выполнено.

2. В противоположной грани выберем соответствующие стороны A₁B₁ и A₁D₁. По свойству параллелепипеда AB ∥ A₁B₁ и AD ∥ A₁D₁: это направления соответствующих рёбер.

3. Применим признак к двум плоскостям граней. Получаем, что плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны.

Ответ: плоскости противоположных граней параллельны.

Задача 3

Проверим утверждение: в тетраэдре MABC точки P и Q — середины MA и MB, а R и S — середины AC и BC; требуется доказать, что плоскости PQC и RSM параллельны. При такой формулировке утверждение неверно, поэтому корректного доказательства нет. Это полезная проверка: прежде чем применять признак, необходимо убедиться, что из условий действительно получаются нужные пары.

1. По теореме о средней линии треугольника в MAB получаем PQ ∥ AB, а в ABC — RS ∥ AB. Значит, PQ ∥ RS, но эта единственная пара ещё не доказывает параллельность плоскостей.

2. Проверим утверждение на тетраэдре с координатами M(0; 0; 1), A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(0; 1; 0). Тогда P(0; 0; ½), Q(½; 0; ½), R(0; ½; 0), S(½; ½; 0).

3. Плоскость PQC имеет уравнение y + 2z = 1, а плоскость RSM — y + ½z = ½. Их нормали не пропорциональны, поэтому плоскости не параллельны; например, точки (0; 0; 1) и (0; ½; 0) лежат в обеих плоскостях. Следовательно, заявленный вывод для указанных точек неверен.

Ответ: утверждение в задаче в данной формулировке неверно; его нельзя доказать по указанным условиям.

Типичные ошибки

Применять признак, когда две прямые первой плоскости параллельны или совпадают, — ошибка: требуется именно их пересечение. Её допускают, если замечают параллельные линии, но не проверяют, как они расположены друг относительно друга. Проверьте, что у выбранных прямых есть ровно одна общая точка.

Считать достаточной одну пару параллельных прямых нельзя: она задаёт только одно направление и не исключает пересечения плоскостей. Такая ошибка возникает, когда знакомая параллельность рёбер кажется убедительным доказательством. Для проверки найдите вторую пару и убедитесь, что она относится к другой пересекающейся прямой первой плоскости.

Если перепутать соответствие прямых, условие тоже не выполнено: нужны две конкретные пары, например a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Не записывайте лишь фразу «прямые попарно параллельны», если из неё непонятно, какие линии сопоставлены. Самопроверка простая: подпишите каждую пару отдельно и проверьте обе параллельности.

Наконец, не считайте, что любые прямые из разных плоскостей обязаны пересекаться, если они не параллельны. В пространстве такие прямые могут быть скрещивающимися: они не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Проверяйте положение прямых по условию, а не переносите на пространство привычные рассуждения о линиях на плоскости.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужны знания о параллельных прямых, их свойствах и о том, что две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую. Эти понятия помогают проверить условие и понять идею доказательства. В задачах о многогранниках признак связывают с параллельностью рёбер, а иногда — со средней линией треугольника. Он пригодится при изучении сечений и других пространственных фигур.

Что запомнить

• Для признака нужны две пересекающиеся прямые в одной плоскости.
• Каждая из этих прямых должна быть параллельна соответствующей прямой другой плоскости.
• При выполнении условий плоскости параллельны.
• Одной пары параллельных прямых недостаточно.
• Нужно явно указать, какие прямые пересекаются и какие пары параллельны.
• Параллельные плоскости не имеют общих точек.