13. Изображение пространственных фигур на плоскости

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ получить плоское изображение фигуры: через её точки проводят параллельные прямые до пересечения с плоскостью изображения. Все такие прямые имеют одно выбранное направление. Метод нужен, чтобы чертить пространственные объекты и исследовать их свойства на плоскости.

Проекция точки — точка пересечения плоскости изображения с проектирующей прямой, проведённой через исходную точку. Например, если через точку A провести такую прямую, её пересечение с плоскостью обозначают A′. Эта запись помогает отличить точку фигуры от её изображения.

Изображение пространственной фигуры — совокупность проекций всех её точек на плоскость. На практике для многогранника обычно достаточно спроектировать вершины и соединить проекции рёбер. Такое построение позволяет увидеть расположение частей тела на плоскости.

Направление проектирования — общее направление параллельных прямых, по которым точки фигуры проектируют на плоскость. Его выбирают вместе с плоскостью изображения, потому что от выбора зависит вид чертежа. Если прямая фигуры идёт вдоль этого направления, её проекция может оказаться точкой.

Как это устроено

Чтобы построить параллельную проекцию, сначала выбирают плоскость изображения и направление проектирования. Затем через характерные точки фигуры — например, вершины многогранника — проводят параллельные прямые выбранного направления до плоскости. Точки пересечения отмечают как проекции, а затем соединяют в нужном порядке. Такой порядок важен: одинаковые исходные данные при другом направлении проектирования могут дать другой рисунок.

Прямая обычно изображается прямой, потому что сама прямая вместе с параллельными ей проектирующими прямыми лежит в некоторой плоскости. Пересечение этой плоскости с плоскостью изображения является прямой, если плоскости пересекаются по прямой. На ней оказываются проекции точек исходной прямой. Исключение возникает, когда исходная прямая параллельна направлению проектирования: все её точки могут проектироваться в одну точку.

Параллельные прямые сохраняют параллельность, потому что каждая пара таких прямых задаёт проектирующую плоскость, а линии пересечения этой плоскости с плоскостью изображения параллельны. Если одна из исходных прямых направлена вдоль проектирования, вместо обычной линии может получиться точка; в отдельных случаях проекции прямых совпадают. Поэтому на чертеже следят не только за наклоном линий, но и за тем, как именно устроено проектирование.

Если точка лежит на прямой, то её проектирующая прямая пересекает плоскость изображения на проекции этой прямой. Отсюда следует сохранение принадлежности и коллинеарности: точки, лежавшие на одной прямой, остаются на одной линии изображения. Сохраняется и отношение отрезков, если они расположены на одной прямой: равные части переходят в равные части, а середина — в середину. Эти свойства позволяют делать точные построения без измерения по чертежу.

Изображение может отличаться от фигуры, потому что проектирующие прямые наклонены к плоскости изображения, а расстояния и углы при таком переходе обычно меняются. Например, равные пространственные отрезки, направленные по-разному, могут иметь на рисунке разную длину. Поэтому многогранники строят, опираясь на сохраняющиеся свойства и на условные правила видимости. Чертёж помогает понять форму и взаимное расположение частей, но не служит точной копией тела.

Как плоское изображение передаёт свойства пространственных объектов

Таблица показывает, какие свойства можно использовать при построении, а какие нельзя определять простым измерением. Сначала найдите нужный объект или свойство, затем сверьте с последней колонкой, что следует учесть. Особенно полезно различать сохранение отношения отрезков и изменение их абсолютной длины.

Разбор задач

Проекция отрезка

Условие. Постройте параллельную проекцию отрезка AB, если заданы плоскость изображения и направление проектирования. Требуется определить, как получить образ не только концов, но и всего отрезка. Для этого нужно выяснить, во что переходит прямая, содержащая AB.

1. Через точку A проведите прямую в заданном направлении до плоскости изображения и обозначьте точку пересечения A′.
2. Так же постройте проекцию B′ точки B. Если прямая AB не параллельна направлению проектирования, соедините A′ и B′.
3. Проверьте, что проектирующие прямые через точки отрезка лежат в одной плоскости с AB. Их пересечения с плоскостью изображения образуют линию A′B′.

Ответ. Проекция отрезка AB — отрезок A′B′. Если AB параллелен направлению проектирования, все его точки могут перейти в одну точку, и образ выродится в точку. Это исключение стоит проверить до того, как соединять проекции концов.

Проекция середины диагонали

Условие. Изобразите параллелограмм ABCD и отметьте середину диагонали AC. Нужно показать, где окажется проекция этой середины. Измерять половину диагонали на рисунке необязательно: требуемое место определяется свойством параллельного проектирования.

1. Спроектируйте вершины A, B, C и D в точки A′, B′, C′ и D′ и соедините их в порядке вершин, получив изображение параллелограмма.
2. На диагонали AC отметьте середину M, так что AM = MC. Обе части лежат на одной прямой, поэтому их отношение при проектировании сохраняется.
3. На отрезке A′C′ отметьте точку M′, делящую его пополам. Это проекция M, даже если само изображение диагонали наклонено иначе, чем в пространстве.

Ответ. Проекция середины диагонали AC — середина отрезка A′C′. Проверить построение можно, убедившись, что A′M′ = M′C′. Такой вывод основан на сохранении отношения частей одного отрезка, а не на подобии рисунка исходной фигуре.

Изображение призмы

Условие. Постройте изображение призмы с заданным основанием и параллельными друг другу боковыми рёбрами; обозначьте видимые и невидимые рёбра. Для построения важно не делать боковые рёбра произвольными: их параллельность в пространстве должна отразиться на чертеже. Видимость определяют отдельно от геометрического построения.

1. Спроектируйте вершины основания и соедините их в нужном порядке, получив изображение многоугольника основания.
2. Из каждой вершины проведите изображение бокового ребра так, чтобы все эти линии были параллельны. Их длины на рисунке выбирайте согласованно, а концы соедините рёбрами второго основания.
3. Представьте положение наблюдателя относительно граней. Рёбра, закрытые ближними гранями, отметьте пунктиром, а видимые — сплошными линиями.

Ответ. Получено изображение призмы: соответствующие вершины оснований соединены параллельными линиями, а рёбра различаются по видимости. Одной лишь параллельности недостаточно, чтобы назначить тип линии: нужно учитывать, какие грани закрывают дальние части тела. Если ракурс изменён, набор пунктирных рёбер может стать другим.

Типичные ошибки

Считать, что сохраняются все длины и углы. Эту ошибку допускают, принимая аккуратный чертёж за точную копию тела. Проектирование обычно меняет метрические свойства, поэтому измеренные линейкой длины и углы могут не соответствовать пространственным. Проверяйте себя так: отделяйте свойства, доказанные условиями, от того, что лишь кажется верным на рисунке.

Изображать параллельные пространственные прямые непараллельными. Иногда линии наклоняют по-разному, чтобы чертёж выглядел объёмнее. Но при параллельном проектировании параллельные прямые должны изображаться параллельными или совпадать. Проверьте направления соответствующих линий и не заменяйте геометрическое свойство художественным эффектом.

Считать, что любая прямая обязательно даёт прямую ненулевой длины. Обычно прямая отображается прямой, поэтому исключение легко упустить. Если исходная прямая параллельна направлению проектирования, её точки могут проектироваться в одну точку. Перед построением сравните направление прямой с направлением проектирующих линий.

Определять середину отрезка измерением на рисунке. Так поступают, когда изображение кажется достаточно точным, но длины могли измениться. Середину следует обосновывать сохранением отношения частей одного отрезка: если исходный отрезок разделён пополам, его проекция тоже делится пополам. Проверьте, лежат ли обе части на одной прямой, и используйте это свойство вместо оценки «на глаз».

Связь с другими темами

Для изучения проектирования нужны понятия точки, прямой, плоскости, параллельных прямых и отрезка в пространстве: без них нельзя описать ни исходную фигуру, ни её проекции. Этот навык пригодится при изображении многогранников, построении сечений и решении стереометрических задач по чертежу. В черчении и начертательной геометрии также переносят пространственные объекты на плоскость, но там используют более подробные правила построения и оформления.

Что запомнить

• При параллельном проектировании все проектирующие прямые параллельны одному выбранному направлению.
• Точка переходит в точку, а прямая обычно — в прямую.
• Параллельные прямые изображаются параллельными или совпадающими.
• Отношение отрезков на одной прямой сохраняется.
• Длины и углы в общем случае не сохраняются.
• Чертёж передаёт форму и взаимное расположение элементов, но не всегда их точные размеры.