§ 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют пересекающиеся прямые, угол между которыми равен 90°. В пространстве такие прямые тоже должны пересекаться: тогда можно увидеть угол, образованный ими. Обозначение a ⟂ b показывает, что прямые a и b перпендикулярны. Это понятие позволяет говорить о прямом угле не только на плоскости, но и в пространственных фигурах.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения прямой и плоскости. Записывают l ⟂ α. Условие относится именно к прямым плоскости через эту точку, а не к любой прямой в ней: часть прямых может не пересекаться с l. Такое определение нужно, чтобы точно установить, как прямая расположена относительно целой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости позволяет заменить проверку множества прямых более простой проверкой. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Удобство признака в том, что две подходящие прямые можно выбрать из условий задачи или провести через точку пересечения. При этом обе прямые должны пересекаться между собой, а данная прямая должна быть перпендикулярна каждой из них.

Две плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90°. Двугранный угол образуют две полуплоскости с общей границей; его величину можно представить как угол между перпендикулярами к этой границе, проведёнными в плоскостях. Перпендикулярность плоскостей обозначают α ⟂ β. Это определение помогает различить просто пересекающиеся плоскости и те, которые пересекаются под прямым углом.

Как это устроено

В определении перпендикулярности прямой плоскости фигурируют все прямые плоскости, проходящие через точку пересечения. Однако проверять их по одной невозможно: через эту точку можно провести бесконечно много прямых. Поэтому используют признак, который опирается на две пересекающиеся прямые плоскости. Их направления позволяют установить, что данная прямая образует прямой угол со всей плоскостью, а не только с отдельной линией.

Чтобы применить признак, сначала найдите точку, в которой прямая пересекает плоскость, и две прямые этой плоскости, пересекающиеся между собой. Затем докажите, что исходная прямая перпендикулярна каждой из выбранных прямых. Если одно из двух доказательств отсутствует или выбранные прямые параллельны, оснований для вывода по признаку нет. После проверки обоих условий можно заключить, что прямая перпендикулярна плоскости.

Перпендикулярность прямой плоскости включает в себя перпендикулярность прямой, проведённой в плоскости через точку пересечения. Это следует из определения: такая прямая входит в число всех прямых плоскости, проходящих через эту точку. Обратное утверждение неверно: прямой угол с одной прямой в плоскости ещё не устанавливает перпендикулярность всей плоскости. Поэтому для общего вывода пользуются признаком с двумя пересекающимися прямыми.

Признак перпендикулярности плоскостей устроен сходным образом: вместо проверки двугранного угла ищут подходящую прямую. Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то двугранный угол между плоскостями прямой, и плоскости перпендикулярны. Причина в том, что прямая, перпендикулярная второй плоскости, задаёт в первой плоскости направление, образующее прямой угол с линиями этой плоскости через точку пересечения. Так доказательство сводится к уже установленному факту о прямой и плоскости.

В доказательстве сначала отделите известное из условия от того, что требуется получить. Затем найдите прямые, для которых можно обосновать перпендикулярность, и проверьте, лежат ли они в нужной плоскости и пересекаются ли там, где требуется. Если нужно доказать перпендикулярность прямой и плоскости, примените соответствующий признак; если плоскостей — найдите в одной из них прямую, перпендикулярную другой. Каждый переход должен опираться на условие, определение или признак, а не только на вид фигуры.

Признаки перпендикулярности в пространстве

Пользуйтесь таблицей как схемой доказательства: сначала определите, какие объекты нужно сделать перпендикулярными, затем найдите условие подходящего признака. Проверьте, что выбранные элементы удовлетворяют всем его требованиям. После этого сформулируйте вывод с указанием применённого признака.

Разбор задач

Задача 1

В плоскости α через точку O проведены пересекающиеся прямые a и b. Прямая l проходит через O и перпендикулярна a и b. Докажите, что l перпендикулярна α. Здесь условия специально содержат две прямые одной плоскости и их пересечение. Значит, можно проверить, совпадают ли они с условиями признака перпендикулярности прямой и плоскости.

1. По условию a и b лежат в α и пересекаются в точке O.
2. Прямая l проходит через O, причём l ⟂ a и l ⟂ b.
3. Значит, l перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α. По признаку l ⟂ α.

Ответ: l перпендикулярна α по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Важно было проверить не только прямые углы, но и то, что a и b действительно пересекаются и лежат в α. Именно эти свойства делают возможным применение признака.

Задача 2

Дана пирамида, в которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что плоскость боковой грани, содержащей это ребро, перпендикулярна плоскости основания. Обозначим ребро через SA, плоскость основания через α, а плоскость боковой грани через β. По условию SA ⟂ α, и SA лежит в β.

1. Выделим прямую SA: она содержится в плоскости β.
2. По условию SA перпендикулярна плоскости α.
3. Плоскость β содержит прямую, перпендикулярную α, поэтому по признаку перпендикулярности плоскостей β ⟂ α.

Ответ: плоскость боковой грани перпендикулярна плоскости основания. В доказательстве не требуется отдельно находить двугранный угол. Достаточно сопоставить ребро и плоскости с условием признака.

Задача 3

В пространственной фигуре известно, что l ⟂ α, а плоскость β содержит l. Докажите, что α и β перпендикулярны. Сначала нужно понять, какой объект из β подходит для признака перпендикулярности плоскостей. По условию в β уже лежит прямая l, и известно, что она перпендикулярна α.

1. Из l ⟂ α следует, что прямая l перпендикулярна плоскости α.
2. Так как β содержит l, плоскость β содержит прямую, перпендикулярную α.
3. По признаку перпендикулярности плоскостей получаем β ⟂ α.

Ответ: α и β перпендикулярны. Первый переход использует условие задачи, второй — принадлежность прямой плоскости, третий — признак для плоскостей. Такая запись показывает, на каком основании сделан каждый шаг.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что для признака достаточно перпендикулярности одной прямой плоскости. Один прямой угол не описывает расположение прямой относительно всей плоскости, хотя такое упрощение кажется убедительным. Проверьте себя: в доказательстве должны быть названы две прямые плоскости и указана перпендикулярность исходной прямой каждой из них. Если указана только одна, признак ещё не применён.

Ошибка: выбирать две параллельные прямые вместо пересекающихся. Их параллельность может не бросаться в глаза, особенно если расположение элементов описано словами. Перед применением признака установите, что обе прямые лежат в нужной плоскости и имеют общую точку. Если они параллельны, выберите другую пару пересекающихся прямых.

Ошибка: заключать, что плоскости перпендикулярны, только потому что они пересекаются. Пересечение возможно и под острым, и под тупым углом, поэтому оно не гарантирует прямой двугранный угол. Для самопроверки укажите конкретное основание: прямой угол между плоскостями или прямую в одной плоскости, перпендикулярную другой. Без такого основания вывод не доказан.

Ошибка: путать перпендикулярность прямой плоскости с перпендикулярностью прямой одной из линий в плоскости. Обычно так происходит, когда прямой угол воспринимают как достаточное подтверждение. Проверьте, доказана ли перпендикулярность ещё одной пересекающейся прямой той же плоскости. Если нет, известен только один угол, а не перпендикулярность плоскости.

Связь с другими темами

Для работы с пространственной перпендикулярностью нужны понятия угла между прямыми, плоскости, пересечения и параллельности. Полезно уметь строить углы в пространстве и использовать свойства перпендикулярных прямых; при доказательствах могут понадобиться и признаки равенства треугольников. Эти знания помогают обосновать необходимые прямые углы, а не просто увидеть их на чертеже. Позже перпендикулярность будет нужна при изучении расстояний и углов в пространстве и при решении задач о многогранниках.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются и образуют угол 90°.
• Для признака перпендикулярности прямой плоскости проверяют две пересекающиеся прямые этой плоскости.
• Данная прямая должна быть перпендикулярна обеим выбранным прямым.
• Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Пересечение двух плоскостей само по себе не означает их перпендикулярности.