14. Перпендикулярность прямых в пространстве

Определения и обозначения

Угол между прямыми в пространстве — это меньший угол между двумя пересекающимися прямыми, проведёнными параллельно исходным через одну точку. Его величина находится в пределах от 0° до 90°. Такое определение помогает сравнивать направления прямых даже тогда, когда они не имеют общей точки.

Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°. В пространстве такие прямые могут пересекаться, но могут и быть скрещивающимися. Это определение нужно, чтобы говорить о прямом угле между направлениями, не требуя обязательного пересечения самих прямых.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются и не параллельны: в отличие от параллельных, их направления не совпадают, а общей точки у них нет. Это понятие объясняет, почему для нахождения угла между такими прямыми приходится строить вспомогательную прямую.

Как это устроено

У пересекающихся прямых общая точка уже есть, поэтому угол между ними можно увидеть непосредственно. У скрещивающихся прямых общей точки нет, и обычный угол с вершиной на обеих прямых построить нельзя. Чтобы всё же сравнить их направления, одну прямую заменяют параллельной ей: направление при этом сохраняется, а новая прямая пересекает вторую. Получается обычный плоский угол, который можно измерить или доказать его величину.

Для построения выберите точку на одной из исходных прямых. Через неё проведите прямую, параллельную второй исходной прямой, и рассмотрите углы, образовавшиеся при пересечении. Из них возьмите меньший: именно его считают углом между прямыми, поэтому результат не превышает 90°. Если прямые уже пересекаются, отдельное построение не требуется — применяют то же правило выбора меньшего угла.

Выбранная точка не влияет на результат, потому что перенос параллельной прямой не меняет её направления. При построении через другую точку получаются прямые, соответственно параллельные тем, что использовались сначала; соответствующие углы при параллельных прямых равны. Можно заменить параллельной и любую из двух исходных прямых: сравниваются те же направления, а значит, величина угла остаётся прежней. Поэтому для решения выбирают точку, через которую проще провести или обосновать нужную параллель.

Чтобы проверить, перпендикулярны ли скрещивающиеся прямые, сначала постройте угол между ними по определению. Затем установите, равен ли меньший угол 90°; если равен, прямые перпендикулярны. Нельзя заменять эту проверку тем, что прямые кажутся перпендикулярными на рисунке: чертёж может быть выполнен с искажением. Доказательство должно опираться на геометрические свойства или данные условия.

Параллельность помогает и в самом доказательстве. Если через удобную точку проведена прямая, параллельная одной из рассматриваемых, можно перейти от угла между скрещивающимися прямыми к углу между пересекающимися. Если этот угол прямой, то и угол между исходными прямыми равен 90°: при замене прямой на параллельную величина угла сохраняется. Такой приём особенно полезен, когда точка пересечения вспомогательной прямой позволяет применить известные свойства фигуры.

Угол и перпендикулярность прямых в пространстве

Сначала определите, как расположены прямые, а затем выберите способ построения угла из таблицы. Для скрещивающихся прямых ключевой шаг — провести параллельную через точку на одной из них. В любом случае перпендикулярность означает, что угол между направлениями составляет 90°.

Разбор задач

Задача 1. Прямые a и b пересекаются под углом 90°. Каков угол между прямыми, параллельными соответственно a и b? Нужно сравнить направления новых прямых с направлениями исходных, а не искать для них новую величину угла. Параллельная замена сохраняет угол между направлениями.

1. Обозначим прямые, параллельные a и b, через a′ и b′.
2. Угол между a′ и b′ равен углу между a и b, так как соответствующие стороны углов параллельны.
3. По условию угол между a и b равен 90°, значит, таким же будет меньший угол между a′ и b′.

Ответ: 90°.

Задача 2. В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ определить угол между AC и B₁D. Прямые скрещиваются, поэтому сначала заменим одну прямую параллельной, проходящей через точку другой. В основании ABCD диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом; нужно связать это известное положение с требуемым углом.

1. Через точку D проведём прямую, параллельную B₁D. В кубе B₁D параллельна диагонали DB₁? Удобнее использовать равенство направлений: в квадратной грани ABB₁A₁ отрезок B₁A₁ параллелен AB, а в основании диагональ AC образует с AB угол 45°.
2. Рассмотрим направление B₁D: его проекции на плоскость основания задают диагональ BD, а вертикальная составляющая равна ребру куба. Так как длина ребра одинакова, угол между AC и B₁D соответствует углу между диагональю AC и диагональю BD в симметричном построении.
3. Диагонали квадрата AC и BD перпендикулярны. Следовательно, угол между заданными прямыми равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 3. Докажите, что скрещивающиеся прямые a и b перпендикулярны, если через точку прямой a проведена прямая b′, параллельная b, и a ⟂ b′. Условие уже даёт пересекающиеся прямые a и b′, а значит, можно сразу связать их угол с углом между исходными прямыми. Важно не требовать, чтобы a и b имели общую точку.

1. По условию a пересекает b′ под прямым углом, поэтому угол между a и b′ равен 90°.
2. Так как b′ ∥ b, угол между a и b равен углу между a и b′.
3. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми a и b равен 90°, что и означает их перпендикулярность.

Ответ: a ⟂ b.

Типичные ошибки

Считать, что перпендикулярными бывают только пересекающиеся прямые, — значит переносить на пространство привычную картину плоскости. В пространстве определение опирается на угол между направлениями, а не на наличие общей точки. Проверьте себя: если прямые скрещиваются, постройте угол по определению; прямой угол доказывает перпендикулярность.

Пытаться измерить угол непосредственно между скрещивающимися прямыми нельзя: у них нет общей точки, которая могла бы стать вершиной угла. Ошибку допускают, когда забывают, что геометрический угол строится из пересекающихся лучей. Сначала проведите через точку одной прямой параллельную другой, и только потом рассматривайте угол.

Иногда за угол между прямыми выбирают угол больше 90°. Это происходит, если не учитывают принятое правило брать меньший из образовавшихся углов. Сравните два угла при пересечении и выберите тот, который не превышает 90°; так результат будет соответствовать определению.

Делать вывод о перпендикулярности только по пространственному чертежу ненадёжно: при изображении объёмной фигуры прямые углы могут выглядеть острыми или тупыми. Видимый угол — подсказка для поиска, но не доказательство. Проведите вспомогательную параллельную прямую и обоснуйте величину угла свойствами фигуры или данными условия.

Связь с другими темами

Чтобы уверенно строить угол между прямыми, нужно знать признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых. Именно эти свойства объясняют, почему параллельная замена сохраняет величину угла. Если забыли их, сначала повторите, как определяют параллельность и какие углы при ней равны.

Понятие угла между прямыми понадобится при изучении перпендикулярности прямой и плоскости. Позже оно поможет находить и доказывать углы в пространственных фигурах: сначала сводят задачу к пересекающимся прямым, а затем используют известные свойства фигур. Поэтому навык построения вспомогательной параллельной прямой пригодится во многих задачах стереометрии.

Что запомнить

• Угол между прямыми в пространстве определяют через пересекающиеся прямые, параллельные исходным.
• Угол между прямыми не зависит от выбора точки построения.
• Угол между прямыми принимают от 0° до 90°.
• Перпендикулярные прямые образуют угол 90°.
• Перпендикулярные прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• При замене прямой параллельной ей прямой угол между прямыми сохраняется.