15. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Иными словами, в точке встречи прямой с плоскостью все направления внутри плоскости образуют с ней прямой угол. Это определение задаёт смысл перпендикулярности, но проверять бесконечно много прямых напрямую неудобно.

Перпендикуляр — отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, проведённый от точки вне плоскости до этой плоскости. Его конец, лежащий в плоскости, называют основанием перпендикуляра. Понятие нужно, чтобы описывать кратчайшее расстояние от точки до плоскости.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, но не являющийся перпендикуляром. Наклонная идёт к плоскости под углом, отличным от прямого. Сравнение наклонных с перпендикуляром помогает разбирать расстояния и пространственные фигуры.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Это удобный способ установить перпендикулярность всей плоскости по двум проверкам. Именно условие пересечения отличает признак от проверки двух произвольных прямых.

Как это устроено

Определение требует перпендикулярности прямой всем прямым плоскости, проходящим через общую точку, а таких прямых бесконечно много. Поэтому прямую проверку заменить удобным условием — существенная идея признака. Достаточно взять два направления в плоскости, заданные пересекающимися прямыми, и установить перпендикулярность к обоим. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости гарантирует, что остальные направления также подходят.

Пусть прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке O, а прямая l перпендикулярна и a, и b. Через O можно провести любую прямую c плоскости α; именно такие прямые входят в определение перпендикулярности плоскости. В доказательстве признака рассматривают положение c относительно выбранной пары и устанавливают, что l перпендикулярна c. Поскольку c выбрана произвольно, вывод относится ко всем прямым плоскости через O, а значит, l перпендикулярна α.

Пересечение a и b важно потому, что оно задаёт общую точку, через которую проходят прямые плоскости, проверяемые по определению. Две параллельные прямые не дают такой общей точки и не образуют нужную пару направлений для признака. Даже если l перпендикулярна обеим параллельным прямым, условие теоремы не выполнено: нельзя сделать вывод о перпендикулярности всей плоскости. Поэтому в решении нужно отдельно указать, что выбранные прямые пересекаются.

Чтобы применить признак к конкретной прямой l, сначала определите плоскость α, перпендикулярность которой требуется доказать. Затем найдите в α две прямые, пересекающиеся в точке встречи l с плоскостью, и проверьте перпендикулярность l каждой из них. Часто такими прямыми оказываются стороны угла или две стороны треугольника с общей вершиной. Если подходящей пары пока не видно, начните с данных задачи и ищите в плоскости прямые, для которых перпендикулярность уже дана или легко доказывается.

После применения признака меняется уровень вывода: теперь установлена перпендикулярность прямой всей плоскости, а не только двум выбранным прямым. По определению l перпендикулярна любой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения l и α. Это позволяет доказывать углы с прямыми, не участвовавшими в первоначальной проверке, если они проходят через эту точку. Для прямой плоскости, не проходящей через точку пересечения, вывод формулируют через направление или угол между прямыми.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: установите принадлежность обеих прямых одной плоскости, их пересечение и перпендикулярность к ним исходной прямой. Только после проверки всех условий записывайте вывод о плоскости. Затем можно использовать определение, чтобы говорить о прямых плоскости через точку пересечения.

Разбор задач

Задача 1. Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости α. Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости α.

1. Обозначим данные прямые a и b, а проверяемую прямую — l. По условию a и b лежат в α и пересекаются.
2. Условие также сообщает, что l ⟂ a и l ⟂ b. Значит, выполнены оба требования к перпендикулярности исходной прямой.
3. Применяем признак перпендикулярности прямой и плоскости: l ⟂ α.

Ответ: прямая перпендикулярна плоскости α по признаку.

Задача 2. В плоскости α через точку O проведены пересекающиеся прямые a и b. Известно, что l ⟂ a и l ⟂ b. Определите выводы о l и прямых плоскости α через O.

1. Сначала проверяем условия признака: a и b лежат в α, пересекаются в O, а l перпендикулярна обеим.
2. Следовательно, l ⟂ α. Это утверждение говорит о перпендикулярности прямой всей плоскости, а не только a и b.
3. По определению l перпендикулярна каждой прямой плоскости α, проходящей через точку пересечения l с α. Если l пересекает α в O, то это все прямые α через O.

Ответ: l перпендикулярна α и всем прямым α, проходящим через O.

Задача 3. В треугольнике ABC прямые AB и AC пересекаются в A. Прямая AD перпендикулярна AB и AC. Докажите, что AD ⟂ плоскости ABC, и установите перпендикулярность прямой BC.

1. Прямые AB и AC лежат в плоскости ABC и пересекаются в A; по условию AD перпендикулярна каждой из них.
2. По признаку получаем AD ⟂ плоскости ABC. Точка пересечения AD с плоскостью — A.
3. Прямая BC лежит в плоскости ABC, но не проходит через A. Поэтому по определению можно утверждать, что AD перпендикулярна прямым этой плоскости через A; для BC вывод понимается как перпендикулярность направлений, то есть прямому, проведённому через A параллельно BC.

Ответ: AD ⟂ плоскости ABC; направление AD перпендикулярно направлению BC, то есть AD перпендикулярна BC как прямым в пространственном смысле.

Типичные ошибки

• Применять признак к двум параллельным прямым. Так делают, замечая перпендикулярность к обеим и забывая условие об их пересечении. Проверьте, есть ли у пары общая точка; если нет, признак применять нельзя.

• Считать достаточной перпендикулярность только одной прямой плоскости. Одна проверка задаёт лишь одно направление и не устанавливает положение относительно всей плоскости. Для самопроверки найдите вторую пересекающуюся прямую в той же плоскости.

• Выбирать хотя бы одну прямую, не лежащую в рассматриваемой плоскости. Это нарушает условие признака, даже если на чертеже прямые кажутся подходящими. Проверяйте принадлежность каждой из двух прямых плоскости по данным или доказанным фактам.

• Утверждать, что перпендикулярная плоскости прямая перпендикулярна любой прямой пространства. Определение напрямую относится к прямым плоскости через точку пересечения; скрещивающиеся прямые требуют аккуратного рассмотрения их направлений. Проверьте, лежит ли нужная прямая в плоскости и проходит ли она через эту точку.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужны определение перпендикулярных прямых и свойства углов между прямыми: они позволяют проверять прямой угол. Также необходимы понятия плоскости, пересекающихся прямых и принадлежности прямой плоскости. Позже признак используют в задачах о пространственных фигурах, чтобы доказывать перпендикулярность и находить расстояния от точки до плоскости. Здесь особенно полезно различать перпендикуляр и наклонную.

Что запомнить

• Для применения признака нужны две прямые, лежащие в одной плоскости.
• Эти две прямые должны пересекаться.
• Проверяемая прямая должна быть перпендикулярна каждой из них.
• Если условия выполнены, прямая перпендикулярна всей плоскости.
• После этого прямая перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения.
• Перпендикулярность только одной прямой плоскости недостаточна.