16. Построение перпендикулярных прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляром к плоскости называют прямую, которая пересекает плоскость под прямым углом. Это означает, что она образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Определение позволяет говорить об угле прямой не с одной выбранной линией, а со всей плоскостью.

Точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость, называется основанием перпендикуляра. Если перпендикуляр проведён из точки A и пересекает плоскость в H, то H — его основание, а AH — перпендикулярный отрезок. Обозначение H помогает отделить точку на плоскости от точки A вне её.

Проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости. Так, H является проекцией A на плоскость, если AH перпендикулярен плоскости и H лежит в ней. Это определение выбирает среди всех точек плоскости ровно одну, связанную с A прямым углом.

Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Если H — основание перпендикуляра из A, то расстояние равно длине отрезка AH. Такое определение задаёт однозначную величину, в отличие от длины произвольного наклонного отрезка.

Как это устроено

Прямую в пространстве проверяют на перпендикулярность плоскости не по одному углу с произвольно выбранной линией. Через точку пересечения прямой с плоскостью проходят многие прямые, и прямой угол с одной из них ещё не исключает наклона к плоскости в другом направлении. Поэтому определение связывает прямую со всеми прямыми плоскости через эту точку. На практике эту проверку заменяет признак с двумя пересекающимися прямыми.

Признак утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Причина в том, что две пересекающиеся прямые задают направления внутри плоскости, а третье направление, перпендикулярное обеим, образует прямой угол с плоскостью. Условие о пересечении существенно: две параллельные прямые не задают двух независимых направлений. Поэтому признак сводит проверку всех направлений плоскости к двум прямым.

Чтобы провести перпендикуляр через заданную точку, используют построения прямых, перпендикулярных двум пересекающимся прямым плоскости. Например, через заданную точку проводят плоскости, перпендикулярные каждой из этих прямых; их линия пересечения перпендикулярна обеим прямым. По признаку эта линия перпендикулярна исходной плоскости. Если заданная точка лежит в плоскости, построение даёт перпендикуляр через неё, причём точка пересечения с исходной плоскостью совпадает с заданной.

Единственность следует из того, что через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости. Если бы из одной точки выходили два разных перпендикуляра, каждый образовывал бы прямой угол с теми же двумя пересекающимися прямыми плоскости. Это противоречило бы единственности перпендикулярного направления к плоскости. Значит, единственно и основание — точка пересечения этой прямой с плоскостью.

Когда перпендикуляр проведён из точки A и пересекает плоскость в H, точка H по определению является проекцией A на плоскость. Отрезок AH одновременно задаёт расстояние от A до плоскости, потому что расстояние определено как длина перпендикуляра. Любой отрезок от A до другой точки плоскости образует наклонную и длиннее AH. Так построение связывает прямой угол, проекцию и измерение расстояния.

Перпендикуляр к плоскости и связанные с ним понятия

Пользуйся таблицей, начиная с условия задачи: если требуется доказать перпендикулярность плоскости, найди в ней две пересекающиеся прямые. Если требуется проекция или расстояние, сначала установи основание перпендикуляра. Затем выбери определение, которое прямо связывает найденный объект с требуемым.

Разбор задач

Задача 1. Даны две пересекающиеся прямые плоскости и прямая, перпендикулярная каждой из них. Обоснуйте, что эта прямая перпендикулярна плоскости.

1. Обозначим плоскость α, а пересекающиеся в точке O прямые — a и b. По условию рассматриваемая прямая l перпендикулярна и a, и b.
2. Проверим условия признака: a и b лежат в α и пересекаются в O, а l перпендикулярна обеим. Значит, выполнено не только условие о прямых углах, но и требование о пересечении прямых плоскости.
3. Применим признак перпендикулярности прямой и плоскости. Получаем, что l перпендикулярна α.

Ответ: l ⟂ α по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Задача 2. Из точки A вне плоскости проведён перпендикуляр с основанием H. Докажите, что H является проекцией A на плоскость, а длина отрезка AH — расстоянием от A до плоскости.

1. По условию H лежит в плоскости, а AH перпендикулярен ей. Значит, H — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью.
2. Проекция точки на плоскость определяется как основание перпендикуляра, проведённого из этой точки. Следовательно, H — проекция A.
3. Расстояние от точки до плоскости определяется как длина опущенного перпендикуляра. Поэтому искомое расстояние равно AH; единственность перпендикуляра исключает другое основание.

Ответ: H — проекция A, а расстояние от A до плоскости равно AH.

Задача 3. В плоскости заданы две пересекающиеся прямые. Опишите построение прямой через заданную точку, перпендикулярной этой плоскости, и объясните, почему результат единственный.

1. Обозначим плоскость α, а пересекающиеся прямые в ней — a и b. Через заданную точку P проведём плоскость, перпендикулярную a, и другую плоскость, перпендикулярную b.
2. Линия пересечения этих построенных плоскостей перпендикулярна и a, и b: каждая из них перпендикулярна соответствующей прямой. Обозначим линию пересечения l.
3. Поскольку a и b пересекаются и лежат в α, по признаку l перпендикулярна α. Через P другая такая прямая пройти не может: перпендикулярное направление к α единственно.

Ответ: искомая прямая — линия пересечения построенных плоскостей; она единственна. Если P лежит в α, эта прямая пересекает α в P, а если P вне α, точка пересечения является основанием перпендикуляра.

Типичные ошибки

Ошибка — считать достаточной перпендикулярность прямой одной прямой плоскости. Так рассуждают, потому что мысленно переносят правило для угла между двумя прямыми на угол с плоскостью, но одно направление не описывает всю плоскость. Проверь себя: в доказательстве должны быть названы две пересекающиеся прямые плоскости и прямые углы с обеими.

Нельзя проверять признак по двум параллельным или совпадающим прямым. Их направления не дают пару пересекающихся прямых, требуемую признаком, поэтому вывод о перпендикулярности плоскости не обоснован. Перед применением признака укажи точку пересечения выбранных прямых. Если общей точки нет или прямые совпадают, выбери другую пару.

Неверно называть проекцией точки любую точку плоскости. Ошибка возникает, когда слово «проекция» принимают за общее название точки, на которую опустили отрезок. Но проекцией служит только основание перпендикуляра из исходной точки. Проверь условие: отрезок к проекции обязательно должен быть перпендикулярен плоскости.

Наклонный отрезок нельзя принимать за расстояние от точки до плоскости. Он соединяет точку с плоскостью, но не образует с ней прямого угла, поэтому не отвечает определению расстояния. Найди основание перпендикуляра и измеряй отрезок именно до него. Для самопроверки сравни: любой отрезок до другой точки плоскости длиннее перпендикуляра.

Связь с другими темами

Для работы с перпендикуляром нужны определение перпендикулярных прямых, свойства углов и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Также пригодятся знания о пересекающихся и параллельных прямых: без них нельзя правильно выбрать пару для применения признака. Построение опирается на умение проводить прямые и плоскости с заданными свойствами. Позже перпендикуляр и проекция понадобятся для нахождения расстояний между точками, прямыми и плоскостями в пространстве.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Основание перпендикуляра лежит в плоскости.
• Проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра из этой точки.
• Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра.
• Из точки к плоскости можно провести единственный перпендикуляр.