17. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Записывают l ⟂ α, где l — прямая, а α — плоскость. Определение задаёт смысл перпендикулярности в пространстве и помогает отличить её от простого пересечения прямой с плоскостью.

Точку пересечения перпендикулярной прямой с плоскостью называют основанием перпендикуляра. Если l ⟂ α и O — точка их пересечения, то O является основанием перпендикуляра l. Эта точка важна потому, что именно через неё должны проходить прямые плоскости, с которыми перпендикуляр образует прямой угол.

Перпендикуляром к плоскости называют прямую, проведённую через заданную точку перпендикулярно этой плоскости. Если точка обозначена A, а плоскость — α, такую прямую можно обозначить как прямую через A, перпендикулярную α. Это понятие используют, чтобы строить направление кратчайшего пути от точки к плоскости и находить расстояние между ними.

Как это устроено

Чтобы проверить перпендикулярность прямой плоскости, не требуется сравнивать её со всеми прямыми плоскости. Достаточно найти две пересекающиеся прямые этой плоскости и доказать, что данная прямая перпендикулярна каждой из них. Пересекающиеся прямые задают два разных направления в плоскости, а признак перпендикулярности позволяет по этой проверке заключить, что прямая перпендикулярна всей плоскости. При этом важно, чтобы обе проверяемые прямые действительно лежали в плоскости.

Пусть l ⟂ α, а точка O — основание перпендикуляра. Возьмём прямую m, лежащую в α и проходящую через O: по определению l перпендикулярна каждой такой прямой. Условие о прохождении через O существенно, потому что перпендикулярность прямых означает их пересечение под прямым углом. Прямая плоскости, не проходящая через O, может быть скрещивающейся с l, поэтому говорить об их перпендикулярности нельзя.

Рассмотрим две прямые, перпендикулярные одной плоскости. Если они различны, они не могут иметь разные направления: обе перпендикулярны любым двум пересекающимся прямым этой плоскости, поэтому их направления одинаковы. Следовательно, эти прямые параллельны. Если они проходят по одной и той же линии, то совпадают; это также учитывают, когда формулируют свойство: прямые параллельны или совпадают.

Через заданную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости. Существование такой прямой обеспечивается геометрией пространства, а единственность следует из того, что две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны и не могут обе проходить через одну точку. Значит, условие «через заданную точку» определяет единственный перпендикуляр.

В пространственных чертежах сначала ищут две пересекающиеся прямые, лежащие в нужной плоскости, и используют их для доказательства перпендикулярности. Если перпендикулярность двух прямых плоскости уже установлена, можно применять обратное рассуждение по признаку. А когда известны два перпендикуляра к одной плоскости, их параллельность помогает переносить направления и обосновывать отношения между элементами фигуры. Поэтому полезно отмечать не только прямые углы, но и точку основания перпендикуляра.

Критерий и свойства перпендикулярности прямой и плоскости

Пользуясь таблицей, сначала проверь условия в средней колонке: особенно важно, чтобы прямые для признака пересекались и лежали в одной плоскости. Затем можно применить вывод из последней колонки. Если условия не выполнены, соответствующее утверждение использовать нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Прямая l перпендикулярна плоскости α и пересекает её в точке O. Прямая m лежит в α и проходит через O. Докажите, что l ⟂ m.

1. Из условия l ⟂ α, а точка O — пересечение прямой с плоскостью, то есть основание перпендикуляра.
2. Прямая m принадлежит α и проходит через O. Значит, она относится к прямым плоскости, для которых по определению перпендикулярной прямой установлен прямой угол с l.
3. Следовательно, l и m пересекаются в O под прямым углом.

Ответ: l ⟂ m.

Задача 2. Прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α. Докажите, что l ⟂ α.

1. Обозначим данные прямые p и q. По условию p и q лежат в α и пересекаются.
2. Также по условию l ⟂ p и l ⟂ q. Значит, выполнены оба требования признака: перпендикулярность к каждой из двух прямых и их пересечение в плоскости.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем l ⟂ α.

Ответ: l перпендикулярна плоскости α.

Задача 3. Прямые a и b перпендикулярны плоскости α. Докажите, что a и b параллельны, и определите, могут ли они совпадать.

1. Обе прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, поэтому имеют одно направление, перпендикулярное α.
2. Если a и b различны, по свойству таких прямых они параллельны. Две различные параллельные прямые не пересекаются.
3. Если обозначениями a и b заданы одна и та же прямая, они совпадают. Поэтому точная формулировка свойства допускает оба случая.

Ответ: прямые параллельны или совпадают; совпадение возможно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать достаточной перпендикулярность прямой одной прямой плоскости. Одна прямая задаёт только одно направление, поэтому признак не проверен полностью. Чтобы проверить себя, найди в решении две пересекающиеся прямые плоскости и отдельно отметь перпендикулярность к каждой из них.

Вторая ошибка — применить признак к прямым, которые не лежат в рассматриваемой плоскости или не пересекаются. Так иногда делают, увидев на чертеже прямой угол, но рисунок сам по себе не заменяет условий теоремы. Проверь принадлежность обеих прямых плоскости и наличие общей точки; только после этого используй признак.

Третья ошибка — утверждать, что перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой её прямой. Свойство относится только к прямым, проходящим через основание перпендикуляра, иначе прямые могут даже не пересекаться. Перед выводом назови основание и проверь, проходит ли через него рассматриваемая прямая.

Четвёртая ошибка — путать перпендикулярность с наличием прямого угла между направлениями без пересечения. В пространстве перпендикулярные прямые обязательно пересекаются под прямым углом, а скрещивающиеся прямые так назвать нельзя. Убедись, что у прямых есть общая точка, и только затем говори об их перпендикулярности.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения перпендикулярных прямых и плоскости, а также свойства углов и параллельных прямых. Доказательства в пространстве могут опираться на признаки равенства треугольников; сам перпендикуляр помогает находить расстояние от точки до плоскости. Позже эти свойства понадобятся при изучении углов между прямыми и плоскостями и при решении стереометрических задач, где отношения на чертеже требуется обосновать.

Что запомнить

• Для признака перпендикулярности прямой плоскости достаточно двух пересекающихся прямых плоскости.
• Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра.
• Через заданную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
• Прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны или совпадают.
• В пространстве перпендикулярные прямые обязательно пересекаются.