"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Перпендикуляр и наклонная связывают точку вне плоскости с точками самой плоскости. Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние от точки до плоскости, а наклонная идёт к ней под ненулевым углом. Вместе с проекцией наклонной они образуют прямоугольный треугольник. Поэтому теорема Пифагора помогает находить неизвестные длины, а сравнение проекций — сравнивать наклонные, проведённые из одной точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляром к плоскости из точки вне неё называют отрезок, который соединяет эту точку с плоскостью и перпендикулярен ей. Например, если AH перпендикулярен плоскости α, то AH — перпендикуляр к α. Он нужен, чтобы задавать расстояние от точки A до плоскости.
Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость. Для отрезка AH основанием будет H, то есть H принадлежит плоскости α. Это обозначение помогает точно указывать, от какой точки плоскости строить проекцию наклонной.
Наклонная к плоскости — отрезок, проведённый из точки вне плоскости к точке плоскости и не являющийся перпендикуляром. Если точка B лежит в α, а AB не перпендикулярен α, то AB — наклонная. Она позволяет рассматривать пути от исходной точки к разным точкам плоскости.
Проекция наклонной — отрезок плоскости, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной на плоскости. Если AH — перпендикуляр, а AB — наклонная, то HB — проекция AB. Она нужна для применения теоремы Пифагора и сравнения наклонных.
Пусть точка A находится вне плоскости α. Из неё проводят отрезок AH так, чтобы он был перпендикулярен α; точка H, где он встречает плоскость, становится основанием. В плоскости можно выбрать точку B, отличную от H, и соединить её с A: отрезок AB будет наклонной. Если выбрать другую точку C, получится другая наклонная AC, но перпендикуляр AH останется тем же.
Отрезки AH и HB лежат под прямым углом: AH перпендикулярен всей плоскости α, а HB принадлежит этой плоскости. Поэтому треугольник AHB прямоугольный, причём AB — его гипотенуза. Гипотенуза длиннее каждого катета, значит AB длиннее AH. Для любой наклонной из A рассуждение такое же, поэтому перпендикуляр короче любой из них.
В прямоугольном треугольнике AHB теорема Пифагора даёт AB² = AH² + HB². Здесь AB — наклонная, AH — перпендикуляр, HB — проекция наклонной. Если известны два отрезка, можно найти третий: например, AB = √(AH² + HB²), а HB = √(AB² − AH²). При вычислениях длины берут положительными, поскольку речь идёт об отрезках.
Пусть из A проведены наклонные AB и AC, а их проекции — HB и HC. Для обеих наклонных перпендикуляр AH один и тот же, поэтому квадраты длин отличаются только квадратами проекций: AB² = AH² + HB², AC² = AH² + HC². Если HB = HC, то AB² = AC² и длины наклонных равны. Если, например, HB больше HC, то AB² больше AC², а значит, AB длиннее AC.
Чтобы сравнить наклонные из одной точки, сначала находят или сравнивают их проекции, а затем используют общий перпендикуляр. Если проекции равны, наклонные равны; если одна проекция длиннее, соответствующая наклонная тоже длиннее. При конкретных числах можно вычислить квадраты длин по теореме Пифагора и сравнить их, не извлекая квадратные корни. Такой способ особенно удобен, когда требуется только установить порядок длин.
| Отрезок или связь | Как определяется | Свойство |
|---|---|---|
| Перпендикуляр | Отрезок от точки вне плоскости к плоскости, перпендикулярный ей | Короче любой наклонной из той же точки |
| Наклонная | Отрезок от точки вне плоскости к точке плоскости, не являющийся перпендикуляром | Гипотенуза прямоугольного треугольника с перпендикуляром и проекцией |
| Проекция наклонной | Отрезок в плоскости от основания перпендикуляра до конца наклонной | Вместе с перпендикуляром образует катеты прямоугольного треугольника |
| Связь длин по теореме Пифагора | Для наклонной AB, перпендикуляра AH и проекции HB | AB² = AH² + HB² |
| Сравнение наклонных и их проекций | Для наклонных из одной точки к одной плоскости | Равным проекциям соответствуют равные наклонные; большей проекции — большая наклонная |
В задаче сначала обозначьте основание перпендикуляра: это поможет правильно определить проекцию. Затем выберите строку с нужной связью и подставьте известные длины. Для сравнения двух наклонных проверьте, что они проведены из одной точки и имеют общий перпендикуляр.
Из точки A вне плоскости α опущен перпендикуляр AH = 6 см. Найдите наклонную AB, если её проекция HB равна 8 см. Перпендикуляр и проекция выходят из основания H под прямым углом, поэтому нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника AHB. Используем теорему Пифагора.
Ответ: 10 см. Проверка: гипотенуза получилась длиннее обоих катетов, как и должно быть для наклонной.
Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC. Их проекции HB и HC равны 5 см и 12 см, а AH = 9 см. Сравните наклонные. Общий перпендикуляр AH одинаков для обоих прямоугольных треугольников, поэтому можно найти длины наклонных или сравнить их квадраты. Второй способ позволяет обойтись без извлечения корней.
Ответ: AB < AC. Проекция HC длиннее HB, поэтому и соответствующая ей наклонная AC длиннее AB.
Перпендикуляр AH к плоскости α равен 8 см. Одна наклонная AB равна 10 см, а другая AC — 13 см. Найдите разность длин их проекций. Сначала следует найти HB и HC по теореме Пифагора: проекция является вторым катетом, а наклонная — гипотенузой. Затем из большей проекции вычитают меньшую.
Ответ: √105 − 6 см, или приблизительно 4,25 см. Оставить точный ответ с корнем удобно, потому что 105 не является квадратом целого числа.
Иногда проекцией называют весь отрезок от исходной точки вне плоскости до конца наклонной. Это происходит потому, что слово «проекция» связывают с изображением наклонной целиком. Проверьте концы отрезка: проекция лежит в плоскости и соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной.
Можно ошибочно решить, что наклонная короче перпендикуляра, например, ориентируясь на вид схемы. Но перпендикуляр и проекция — катеты прямоугольного треугольника, а наклонная — его гипотенуза. Проверка простая: по теореме Пифагора квадрат наклонной равен сумме квадратов катетов, значит наклонная длиннее перпендикуляра.
Ещё одна ошибка — применять теорему Пифагора только к наклонной и перпендикуляру, забыв проекцию. Такое сокращение кажется удобным, но эти два отрезка не задают прямоугольный треугольник. Перед вычислением назовите все три стороны треугольника: наклонную-гипотенузу, перпендикуляр и проекцию-катеты.
Наклонные иногда сравнивают по буквам или по тому, как они нарисованы. Расположение линий на схеме не всегда отражает их длины, а обозначения сами по себе ничего не сообщают. Если наклонные исходят из одной точки к одной плоскости, сравните их проекции при общем перпендикуляре; при необходимости подтвердите вывод вычислением квадратов длин.
Для изучения темы нужно знать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна прямым этой плоскости, проходящим через точку пересечения. Также потребуется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника. Она связывает три отрезка — наклонную, перпендикуляр и проекцию.
Эти знания применяют, когда находят расстояние от точки до плоскости: его задаёт перпендикуляр. Соотношение наклонной и её проекции помогает решать пространственные задачи на расстояния и углы. Так свойства прямоугольного треугольника становятся инструментом для вычислений в геометрии пространства.
Чем наклонная отличается от перпендикуляра к плоскости?
Перпендикуляр образует с плоскостью прямой угол, а наклонная соединяет ту же точку вне плоскости с точкой плоскости, но не перпендикулярна ей. Поэтому при общей исходной точке наклонная длиннее перпендикуляра.
Что именно называют проекцией наклонной?
Это отрезок в плоскости от основания перпендикуляра до конца наклонной. Он не включает наклонную и не идёт от исходной точки вне плоскости.
Почему перпендикуляр короче любой наклонной?
Перпендикуляр, наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник. Наклонная в нём является гипотенузой, а гипотенуза длиннее каждого катета.
Как найти длину наклонной, если известны перпендикуляр и проекция?
Нужно применить теорему Пифагора: если перпендикуляр равен h, а проекция — p, то длина наклонной равна √(h² + p²). Наклонная является гипотенузой полученного прямоугольного треугольника.
Как сравнить две наклонные, проведённые из одной точки?
Если у них общий перпендикуляр к плоскости, сравните длины проекций. Большей проекции соответствует более длинная наклонная, а равным проекциям — равные наклонные.
18. Перпендикуляр и наклонная
