§ 15. Перпендикуляр и наклонная

Определения и обозначения

Перпендикуляр к прямой — отрезок, проведённый из точки вне прямой к ней под прямым углом. Прямой угол равен 90°; на чертеже его обычно отмечают маленьким квадратиком у вершины. Это обозначение помогает сразу увидеть, какие стороны образуют прямоугольный треугольник.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую. Если обозначить эту точку буквой H, отрезок перпендикуляра можно записать как AH. Основание нужно, чтобы точно указать, откуда измеряется расстояние от точки до прямой.

Наклонная к прямой — отрезок, соединяющий точку вне прямой с точкой на прямой, но не являющийся перпендикуляром. Например, отрезок AB будет наклонной, если A находится вне прямой, B лежит на ней, а угол между AB и прямой не равен 90°. Наклонную сравнивают с перпендикуляром, проведённым из той же точки.

Проекция наклонной — отрезок прямой от основания перпендикуляра до основания наклонной. Если основания обозначены H и B, проекция — это HB, а не сама наклонная AB. Она нужна, чтобы связать длины наклонной и перпендикуляра с помощью теоремы Пифагора.

Как это устроено

Из точки, которая не лежит на прямой, можно провести к ней перпендикуляр. Его отрезок встречает прямую под углом 90°, поэтому вместе с прямой он образует прямоугольный треугольник, если соединить внешнюю точку с другой точкой прямой. Длина этого перпендикуляра задаёт расстояние от точки до прямой: среди отрезков от точки до прямой именно он самый короткий. Это свойство объясняется тем, что в прямоугольном треугольнике катет короче гипотенузы.

Если соединить ту же внешнюю точку с другой точкой прямой, получится наклонная. Перпендикуляр, наклонная и часть прямой между их основаниями образуют прямоугольный треугольник. Прямой угол находится у основания перпендикуляра, поэтому перпендикуляр и проекция наклонной являются катетами, а наклонная — гипотенузой. Так можно применять к этим отрезкам теорему Пифагора.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если наклонную обозначить c, перпендикуляр — a, а её проекцию — b, получится равенство c² = a² + b². Чтобы найти проекцию, из квадрата наклонной вычитают квадрат перпендикуляра: b² = c² − a². Вычитать нужно именно квадраты, потому что теорема относится к квадратам сторон.

Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой. В образовавшемся прямоугольном треугольнике перпендикуляр — катет, а наклонная — гипотенуза; гипотенуза длиннее каждого катета. Если проекция наклонной ненулевая, её гипотенуза длиннее перпендикуляра. Поэтому длина перпендикуляра является наименьшим расстоянием от точки до прямой.

Для наклонных, проведённых из одной точки к одной прямой, длина связана с проекцией: чем больше проекция, тем длиннее наклонная. Это следует из формулы c² = a² + b²: при одном и том же перпендикуляре увеличение b увеличивает c², а значит, и длину c. Поэтому равным наклонным соответствуют равные проекции. Верно и обратное: равные проекции при общем перпендикуляре дают равные наклонные.

Перпендикуляр и наклонная к прямой

Сначала проверь, к каким именно отрезкам относится строка: сравнение длины имеет смысл для отрезков из одной точки к одной прямой. В строке о проекции помни, что перпендикуляр и проекция — катеты, а наклонная — гипотенуза. Эта таблица поможет выбрать нужное свойство перед решением задачи.

Разбор задач

Задача 1. Из точки вне прямой проведены перпендикуляр длиной 6 см и наклонная длиной 10 см. Найдём длину проекции наклонной. Сначала определим, какой отрезок неизвестен в прямоугольном треугольнике: проекция является вторым катетом, а наклонная — гипотенузой.

1. Обозначим проекцию через x. По теореме Пифагора 10² = 6² + x².
2. Вычтем квадрат перпендикуляра: x² = 100 − 36 = 64.
3. Извлечём квадратный корень: x = 8 см. Длина не может быть отрицательной.

Ответ: длина проекции равна 8 см. Проверка: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Значит, полученные длины согласуются с теоремой Пифагора.

Задача 2. Перпендикуляр к прямой равен 5 см, а проекция наклонной — 12 см. Найдём наклонную. Здесь известны оба катета прямоугольного треугольника, поэтому искомая наклонная является гипотенузой. Для гипотенузы квадраты катетов нужно сложить.

1. Запишем теорему Пифагора: c² = 5² + 12².
2. Вычислим сумму квадратов: c² = 25 + 144 = 169.
3. Извлечём квадратный корень: c = √169 = 13 см.

Ответ: длина наклонной равна 13 см. Наклонная получилась длиннее перпендикуляра, как и должно быть. Подстановка 5, 12 и 13 в теорему Пифагора подтверждает результат.

Задача 3. Из одной точки к прямой проведены две наклонные с проекциями 8 см и 15 см. Первая наклонная равна 10 см. Найдём длину второй наклонной. Высота-перпендикуляр в обоих прямоугольных треугольниках одна и та же, поэтому сначала вычислим её по данным о первой наклонной.

1. Для первой наклонной запишем 10² = h² + 8², где h — перпендикуляр. Тогда h² = 100 − 64 = 36, а h = 6 см.
2. Для второй наклонной применим теорему Пифагора: c² = 6² + 15².
3. Получим c² = 36 + 225 = 261, значит, c = √261 = 3√29 см.

Ответ: длина второй наклонной равна √261 см, или 3√29 см (примерно 16,2 см). Она длиннее первой, потому что её проекция больше, а перпендикуляр общий. Не нужно округлять точный ответ, если задача не требует приближённого значения.

Типичные ошибки

Ошибка — называть наклонной любой отрезок от внешней точки до прямой, включая перпендикуляр. Так происходит, потому что оба отрезка соединяют точку с прямой. Проверь угол: если он равен 90°, отрезок — перпендикуляр, а не наклонная.

Ошибка — считать проекцией саму наклонную. Наклонная соединяет внешнюю точку с прямой, а проекция лежит на прямой между основаниями перпендикуляра и наклонной. Чтобы проверить себя, найди оба основания и убедись, что проекция начинается в основании перпендикуляра.

Нельзя сравнивать наклонные, проведённые из разных точек или к разным прямым, используя свойство их проекций. Это свойство работает, когда общими являются исходная точка и прямая, иначе перпендикуляры могут иметь разную длину. Перед сравнением отметь на чертеже, откуда выходят наклонные и к какой прямой они проведены.

Ошибка при применении теоремы Пифагора — вычитать длины вместо квадратов или складывать катеты вместо их квадратов. Причина в том, что запоминают правило словами, но теряют показатель степени. Проверь запись: c² = a² + b²; если ищешь катет, сначала вычти квадраты, а затем извлеки корень.

Связь с другими темами

Для работы с перпендикуляром нужно знать прямой угол, перпендикулярные прямые и прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора связывает наклонную, перпендикуляр и её проекцию, позволяя находить неизвестную длину. Эти знания пригодятся при изучении расстояния от точки до прямой, свойств треугольников и задач на построение: умение находить кратчайшее расстояние и строить прямой угол используется во многих геометрических рассуждениях.

Что запомнить

• Перпендикуляр образует с прямой угол 90°.
• Проекция наклонной — часть прямой между основаниями перпендикуляра и наклонной.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же прямой.
• Квадрат наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и её проекции.
• Равным наклонным соответствуют равные проекции.
• Равным проекциям соответствуют равные наклонные.