65. Перпендикуляр и наклонная

Определения и обозначения

Перпендикуляр к прямой из точки, не лежащей на ней, — отрезок, который соединяет эту точку с прямой и образует с ней угол 90°. Чтобы построить его, из точки проводят отрезок до прямой так, чтобы у места пересечения получился прямой угол. Такой отрезок показывает кратчайшее расстояние от точки до прямой.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с данной прямой. Если перпендикуляр обозначен AH, то точка H — его основание, а на чертеже у H обычно ставят квадратик, отмечающий прямой угол. Буквенное обозначение помогает не спутать эту точку с другими пересечениями и отрезками.

Наклонная к прямой — отрезок, соединяющий точку вне прямой с точкой на прямой и не являющийся перпендикуляром. Например, если A находится вне прямой, а B лежит на ней, то AB будет наклонной, когда угол между AB и прямой не равен 90°. Наклонные нужны, чтобы сравнивать разные пути от точки до прямой.

Проекция наклонной — отрезок прямой между основанием перпендикуляра и основанием наклонной. Если перпендикуляр из A пересекает прямую в H, а наклонная AB — в B, то её проекция — HB, а не точка B и не весь отрезок AB. По длине проекции можно судить о длине наклонной.

Как это устроено

Пусть точка A находится вне прямой, AH перпендикулярен ей, а AB — наклонная, пересекающая прямую в B. Тогда AH и HB лежат под прямым углом и образуют катеты треугольника AHB, а AB — его гипотенуза. Это следует из того, что угол между AH и прямой равен 90°, а HB является частью этой прямой. Поэтому свойства наклонной можно изучать через свойства прямоугольного треугольника.

Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки. Действительно, в прямоугольном треугольнике гипотенуза AB длиннее каждого катета, в том числе AH. Если B не совпадает с H, отрезок AB является гипотенузой, а AH — катетом. Значит, до прямой короче всего добираться по перпендикуляру.

Длины наклонных связаны с длинами их проекций. Для наклонных AB и AC из одной точки A перпендикуляр AH общий, поэтому по теореме Пифагора AB² = AH² + HB², а AC² = AH² + HC². Если AB и AC равны, то после вычитания общего AH² их проекции HB и HC тоже равны; верно и обратное. Так получаем правило: равным наклонным соответствуют равные проекции, и наоборот.

Если проекция одной наклонной длиннее проекции другой, длиннее и сама наклонная. У треугольников AHB и AHC катет AH общий, а второй катет у первого треугольника, например HB, больше HC. Тогда AH² + HB² больше AH² + HC², значит, и квадрат гипотенузы AB больше квадрата AC. Поскольку длины положительны, AB также больше AC.

Теорема Пифагора помогает находить неизвестный отрезок в треугольнике с катетами AH и HB и гипотенузой AB. Если известны перпендикуляр h и проекция p, то наклонная равна √(h² + p²); если известны наклонная l и перпендикуляр h, проекция равна √(l² − h²). Если известны l и p, перпендикуляр равен √(l² − p²). Перед вычислением проверь, что подставляешь длины именно тех сторон, которые образуют прямоугольный треугольник.

Перпендикуляр и наклонные к прямой

Пользуйся таблицей, чтобы быстро определить, какой отрезок перед тобой и с чем его можно сравнить. Для наклонных из одной точки сначала найди или сравни их проекции на прямую. Если требуется вычисление, обозначь перпендикуляр, проекцию и наклонную как стороны прямоугольного треугольника.

Разбор задач

Задача 1. Из точки A к прямой проведены AB и AC. Угол между AB и прямой равен 90°, а AC не перпендикулярен прямой. Нужно определить виды отрезков и назвать основание перпендикуляра. Сначала используем признак перпендикуляра — прямой угол, затем проверяем второй отрезок.

1. Так как угол между AB и прямой равен 90°, отрезок AB является перпендикуляром.
2. Точку пересечения AB с прямой обозначим B; это основание перпендикуляра.
3. Отрезок AC соединяет A с точкой на прямой и не перпендикулярен ей, значит, AC — наклонная.

Ответ: AB — перпендикуляр, B — его основание, AC — наклонная. Такой порядок рассуждения полезен и в чертеже: сначала отметь угол 90°, а затем назови остальные отрезки по их свойствам.

Задача 2. Расстояние от A до прямой равно 5 см, проекция наклонной равна 12 см. Найдём длину наклонной. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, поэтому отрезки 5 см и 12 см являются катетами прямоугольного треугольника.

1. Обозначим перпендикуляр h = 5 см, а проекцию p = 12 см.
2. По теореме Пифагора квадрат наклонной l² = h² + p² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
3. Берём положительный корень: l = √169 = 13 см.

Ответ: 13 см. Проверка: 13 см — гипотенуза, поэтому она длиннее каждого катета, что согласуется с полученным результатом.

Задача 3. Из A к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 6 см и 10 см. Сравним их длины. У обеих наклонных один и тот же перпендикуляр AH, поэтому в соответствующих прямоугольных треугольниках общий катет равен AH.

1. Обозначим наклонную с проекцией 6 см через AB, а с проекцией 10 см — через AC.
2. Так как 10 > 6, проекция AC больше проекции AB.
3. При одинаковом катете AH большей проекции соответствует большая гипотенуза, следовательно, AC > AB.

Ответ: длиннее наклонная с проекцией 10 см. Численные длины наклонных найти нельзя без длины общего перпендикуляра, но для сравнения она не требуется.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать основанием наклонной её проекцию. Основание — это одна точка на прямой, куда приходит наклонная, а проекция — целый отрезок от этой точки до основания перпендикуляра. Путаница возникает из-за того, что оба объекта лежат на прямой. Проверь себя: у основания нет длины, а проекцию можно измерить.

Ошибка: считать наклонную короче перпендикуляра. На рисунке наклонная иногда кажется короткой из-за масштаба или угла изображения, но она является гипотенузой прямоугольного треугольника. Гипотенуза длиннее катета-перпендикуляра. Проверяй не внешний вид чертежа, а то, какая сторона образует прямой угол.

Ошибка: сравнивать наклонные только по их виду на рисунке. Чертёж может быть выполнен не в масштабе, поэтому визуальное впечатление не доказывает, какой отрезок длиннее. Для двух наклонных из одной точки сравнивают длины их проекций: большая проекция означает большую наклонную. Если данных о проекциях нет, одного рисунка для вывода недостаточно.

Ошибка: применять теорему Пифагора к неверно выбранным сторонам. Катеты — это перпендикуляр и проекция наклонной, а сама наклонная — гипотенуза. Можно ошибиться, приняв основание наклонной за проекцию или подставив наклонную как катет. Перед вычислением отметь прямой угол и проверь, что напротив него находится гипотенуза.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия прямого угла, перпендикулярных прямых и прямоугольного треугольника. Без теоремы Пифагора нельзя связать длины перпендикуляра, проекции и наклонной вычислением. При решении задач важно уметь выразить неизвестный катет или гипотенузу и извлечь квадратный корень.

Перпендикуляр помогает определять расстояние от точки до прямой: оно измеряется по перпендикуляру. Эти же рассуждения пригодятся при изучении перпендикуляров и наклонных в пространстве, где точки и прямые могут располагаться не на одной плоскости. Связь с проекциями позволит сравнивать расстояния и решать геометрические задачи сложнее.

Что запомнить

• Перпендикуляр из точки к прямой образует с ней угол 90°.
• Основание перпендикуляра лежит на данной прямой.
• Наклонная соединяет точку вне прямой с точкой на прямой и не перпендикулярна ей.
• Проекция наклонной — отрезок прямой между основаниями перпендикуляра и наклонной.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.
• Из двух наклонных больше та, у которой больше проекция.
• Длину наклонной, перпендикуляра или проекции можно связать теоремой Пифагора.