66. Неравенство треугольника

Определения и обозначения

Сторона треугольника — отрезок, который соединяет две его вершины. У каждого треугольника три вершины и, соответственно, три стороны: например, в ABC это AB, AC и BC. Название стороны составляют из букв её концов, поэтому по обозначению сразу видно, какие точки соединены.

Неравенство треугольника — утверждение, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Это правило понадобится, когда нужно проверить, могут ли три заданных отрезка образовать треугольник. Оно также помогает ограничить длину стороны, если две другие уже известны.

Сумма длин двух сторон — результат сложения их длин, с которым сравнивают длину третьей стороны. Например, для сторон AC и BC такая сумма записывается как AC + BC. Сравнение показывает, достаточно ли длинны эти два отрезка, чтобы вместе с третьим замкнуть фигуру.

Как это устроено

Для треугольника ABC неравенство для стороны AB записывают так: AB < AC + BC. Стороны AC и BC вместе образуют путь от A до B с поворотом в точке C, тогда как AB соединяет эти вершины напрямую. По той же причине выполняются ещё два неравенства: AC < AB + BC и BC < AB + AC.

Смысл правила можно представить как выбор пути между двумя вершинами. Если идти по двум сторонам треугольника, придётся сделать поворот, а прямой отрезок между началом и концом пути короче. Поэтому длина прямой стороны всегда меньше суммы длин двух других; равенство означало бы, что поворота фактически нет.

Это объясняется свойством ломаной: расстояние по прямой между её концами меньше длины пути по двум её звеньям. В треугольнике возьмём путь A—C—B: его звенья — AC и CB, а прямая между концами — AB. Значит, AC + CB > AB; если выбрать другие пары вершин, таким же способом получим неравенства для AC и BC.

Из правила можно получить и нижнюю границу для стороны. Например, из AB < AC + BC следует AB − BC < AC, а из BC < AB + AC следует BC − AB < AC. Вместе эти записи означают, что AC больше разности длин AB и BC, взятой по модулю: |AB − BC| < AC.

Чтобы проверить, можно ли построить треугольник по трём отрезкам, нужно сравнить сумму двух меньших с наибольшим. Если сумма не больше наибольшего отрезка, эти два отрезка не смогут замкнуть фигуру с третьим. Если же она строго больше, выполняются все три неравенства: суммы с наибольшим отрезком тем более больше каждого из меньших.

Неравенства для сторон треугольника

Сначала найди в таблице нужную сторону и прочитай соответствующее неравенство. Если известны две стороны, используй для третьей верхнюю границу-сумму и нижнюю границу-разность. Оба знака строгие: длина не может совпасть ни с одной границей.

Разбор задач

Сравнение стороны с суммой двух других

В треугольнике ABC известны AB = 5 см и BC = 7 см. Нужно сравнить AC с суммой AB и BC. Точная длина AC не дана, поэтому найти её нельзя, но правило сразу позволяет установить верхнюю границу.

1. Вспоминаем неравенство для стороны AC: AC < AB + BC.
2. Подставляем известные длины: AC < 5 + 7.
3. Складываем: AC < 12 см. Значит, сторона короче суммы двух остальных, хотя её точное значение по этим данным неизвестно.

Ответ: AC < 12 см.

Проверка трёх отрезков

Нужно выяснить, могут ли отрезки длиной 3 см, 4 см и 8 см быть сторонами треугольника. Нет необходимости проверять сумму каждой пары: достаточно взять два меньших отрезка и сравнить их сумму с наибольшим. Если уже это обязательное условие не выполняется, построить треугольник нельзя.

1. Наибольшая длина равна 8 см, а два меньших отрезка имеют длины 3 см и 4 см.
2. Складываем меньшие: 3 + 4 = 7 см.
3. Сравниваем: 7 < 8. Сумма двух меньших сторон не больше третьей, поэтому строгого неравенства нет.

Ответ: нет, эти отрезки не могут быть сторонами треугольника.

Выбор длины третьей стороны

Две стороны треугольника равны 6 см и 10 см; требуется найти целые значения длины третьей стороны x. Она должна быть больше разности известных сторон, иначе вместе с ними треугольник не замкнётся. Одновременно она должна быть меньше их суммы, поэтому сразу получаем два строгих ограничения.

1. Находим разность и сумму: 10 − 6 = 4, 10 + 6 = 16.
2. Записываем границы: |10 − 6| < x < 10 + 6, то есть 4 < x < 16.
3. Выбираем целые числа строго между 4 и 16: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Ответ: длина третьей стороны может быть любой из целых величин от 5 до 15 см включительно.

Типичные ошибки

Проверяют только одно неравенство, например сумму двух произвольно выбранных сторон, и считают, что этого достаточно. Так можно пропустить ситуацию, когда два меньших отрезка вместе короче наибольшего. Чтобы проверить себя, расположи длины по возрастанию и сравни сумму двух меньших с наибольшей.

Иногда записывают AB ≤ AC + BC, включая равенство. Его допускают, если забывают, что прямая между концами короче ломаной, а не равна ей. Для самопроверки представь, что сумма двух сторон равна третьей: все три точки тогда оказались бы на одной прямой, а треугольника не было бы.

При поиске границ третьей стороны путают сумму с разностью или выбирают их не в том порядке. Нижняя граница получается из разности длин известных сторон, верхняя — из их суммы. Проверь запись на примере сторон 6 и 10: третья должна быть больше 4 и меньше 16.

Ещё одна ошибка — включать границы в ответ, например считать допустимыми длины 4 или 16 см для сторон 6 и 10 см. Но обе границы строгие, поэтому равенства не подходят. Перед ответом проверь, что выбранная длина стоит именно между разностью и суммой, не совпадая с ними.

Связь с другими темами

Для работы с неравенством нужно знать, что такое треугольник, его вершины и стороны, а также уметь сравнивать длины отрезков. Основа доказательства — свойство прямой: отрезок между двумя точками короче любой ломаной, которая соединяет эти точки. Позже это правило пригодится при проверке, можно ли построить треугольник по трём отрезкам, и при поиске возможной длины его стороны.

Что запомнить

• Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
• Неравенство должно выполняться для всех трёх сторон.
• Для проверки возможности треугольника достаточно сравнить сумму двух меньших сторон с наибольшей.
• Сумма двух меньших сторон должна быть строго больше наибольшей.
• Длина третьей стороны больше разности и меньше суммы двух известных сторон.
• В границах для длины стороны равенство не допускается.