§ 4. Неравенство треугольника

Определения и обозначения

Треугольник — фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Эти отрезки называют сторонами, а точки соединения — вершинами. Определение помогает отличить треугольник от трёх отрезков, которые лишь соприкасаются или выстроены в одну линию.

Неравенство треугольника — утверждение, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Если стороны обозначены a, b и c, то верны записи a < b + c, b < a + c и c < a + b. По ним проверяют, могут ли заданные отрезки образовать треугольник.

Длина стороны — расстояние между двумя вершинами, измеряемое в единицах длины, например сантиметрах. В задачах неизвестную длину обычно обозначают буквой, а затем составляют неравенства для сторон. Это позволяет найти не одно случайное значение, а весь промежуток подходящих длин.

Как это устроено

Представь путь из одной вершины треугольника в другую. По одной стороне можно пройти прямо, а по двум другим — обойти через третью вершину. Обходной путь не может быть короче прямого отрезка, поэтому сумма двух сторон больше третьей. Равенство возможно лишь тогда, когда путь по двум отрезкам выстроен по одной прямой, и настоящего треугольника не получается.

Условие относится к каждой стороне, а не только к самой длинной. Например, для сторон a, b и c нужно записать три сравнения: a < b + c, b < a + c и c < a + b. На практике достаточно проверить самое строгое из них: если стороны упорядочить от меньшей к большей, то сумма двух меньших должна превосходить наибольшую. Две остальные суммы автоматически больше своих сравниваемых сторон.

Так получается быстрый способ проверки трёх заданных длин. Сначала найди самую длинную сторону, затем сложи две оставшиеся и сравни сумму с ней. Если сумма больше, все три условия выполнены; если она равна наибольшей стороне или меньше неё, треугольник не составить. Например, для длин 4, 6 и 9 имеем 4 + 6 > 9, значит, такие стороны подходят.

Если требуется найти неизвестную сторону x, нужно применить правило дважды. Пусть другие стороны имеют длины a и b: тогда x < a + b, а также a < b + x и b < a + x. Последние два условия вместе означают, что x > |a − b|, то есть x больше разности большей и меньшей известных сторон. Поэтому возможные значения описывает двойное неравенство |a − b| < x < a + b.

Границы этого промежутка не включаются, потому что условие требует строгого превосходства. Если две стороны равны 5 и 8, третья должна быть больше 3 и меньше 13. Для целой длины это числа от 4 до 12 включительно, а для длины с дробной частью подходят все значения внутри строгих границ. Отрицательные и нулевые длины не рассматривают: длина отрезка должна быть положительной.

Проверка существования треугольника

Сначала расположи длины по возрастанию, чтобы сразу увидеть две меньшие и наибольшую. Затем проверь, что сумма меньших строго больше наибольшей: знак равенства означает, что треугольника нет. Если одна сторона неизвестна, пользуйся двойным неравенством и не включай его граничные значения.

Разбор задач

Задача 1. Проверка трёх длин

Даны отрезки длиной 5 см, 7 см и 12 см. Нужно выяснить, можно ли составить из них треугольник. Не стоит проверять все три суммы наугад: сперва сравним сумму двух меньших длин с наибольшей. Именно эта проверка показывает, хватит ли отрезков, чтобы замкнуть фигуру.

1. Упорядочим длины: 5 см, 7 см, 12 см. Самая длинная сторона равна 12 см.
2. Сложим две меньшие стороны: 5 + 7 = 12 см. Получили не строго больше наибольшей длины, а равенство.
3. При равенстве отрезки располагаются по одной прямой, поэтому замкнутый треугольник не образуется.

Ответ: треугольник составить нельзя. Проверка объясняет не только результат, но и причину: две короткие стороны не дают длины больше, чем длинная сторона, а строгое неравенство обязательно.

Задача 2. Поиск целочисленной стороны

Две стороны треугольника равны 6 см и 10 см. Найди все целые значения длины третьей стороны x. Здесь одного условия x < 6 + 10 недостаточно: слишком короткий отрезок тоже не сможет замкнуть треугольник. Поэтому запишем все нужные сравнения.

1. Третья сторона меньше суммы известных: x < 6 + 10, значит, x < 16.
2. Из условия 10 < 6 + x получаем x > 4. Другое сравнение, 6 < 10 + x, выполнено для положительной длины x.
3. Объединим границы: 4 < x < 16. Равные 4 и 16 значения не подходят из-за строгого неравенства.
4. Выберем целые числа строго между границами: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Ответ: третья сторона может иметь целую длину от 5 до 15 см включительно. Для проверки можно взять крайние из найденных целых значений: при x = 5 разность сторон 10 и 6 меньше x, а при x = 15 сумма 6 и 10 больше x. Значит, обе границы соблюдаются и все целые значения между ними подходят.

Типичные ошибки

• Некоторые проверяют только, что каждая сторона меньше суммы двух других, но случайно пропускают одно из сравнений. Так бывает, когда условия записывают без упорядочивания длин. Проверь себя: найди наибольшую сторону и убедись, что сумма двух остальных строго больше неё.

• Иногда принимают равенство за допустимый случай, например считают, что длины 2, 3 и 5 образуют треугольник. Ошибка появляется из-за того, что забывают слово «больше» и заменяют его на «не меньше». Подставь длины в условие: если сумма двух сторон равна третьей, фигура вырождается в прямую.

• При поиске неизвестной стороны могут использовать только верхнюю границу x < a + b. Тогда допускают слишком короткие отрезки, которые не соединяют концы двух известных сторон. Записывай также условие x > |a − b| и проверяй, что полученный промежуток имеет положительные значения.

• В задачах на целые длины иногда включают граничные числа или теряют одно из целых значений внутри промежутка. Это случается, если не учесть строгие знаки или перейти сразу к ответу. Сначала запиши двойное неравенство, затем перечисли целые числа, не включая его границы.

Связь с другими темами

Неравенство треугольника опирается на понятия отрезка и его длины, а для неизвестной стороны требует уметь решать неравенства. Оно связано и с построением треугольников: прежде чем чертить фигуру по трём длинам, проверяют, допускают ли эти длины её существование. Это свойство пригодится и позже, когда стороны сравнивают в геометрических доказательствах.

Что запомнить

• Сумма длин любых двух сторон треугольника строго больше длины третьей.
• Для проверки трёх длин достаточно сложить две меньшие и сравнить сумму с наибольшей.
• Если известны стороны a и b, третья сторона x удовлетворяет условию |a − b| < x < a + b.
• Граничные значения не подходят, а длина стороны должна быть положительной.