"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Неравенство треугольника помогает понять, могут ли три отрезка образовать треугольник. Для этого длину каждой стороны сравнивают с суммой длин двух других: она должна быть строго меньше этой суммы. Также сторона должна быть больше разности двух остальных. При проверке трёх заданных длин достаточно сравнить наибольшую с суммой двух меньших. Это правило пригодится и для построения треугольников, и для поиска неизвестной стороны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство треугольника — утверждение, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Если стороны обозначены a, b и c, то a < b + c, b < a + c и c < a + b. Это правило нужно, чтобы проверять, могут ли отрезки образовать треугольник.
Сумма длин двух сторон — результат сложения этих длин. Чтобы проверить одну сторону, например a, сравнивают её с суммой двух остальных: a < b + c. Такая проверка показывает, хватит ли двух отрезков, чтобы соединить концы третьего и замкнуть фигуру.
Разность длин двух сторон — насколько одна длина больше другой. Третья сторона должна быть больше этой разности: например, a > b − c, если b длиннее c. Это условие не позволяет одной стороне оказаться настолько короткой, что две другие не смогут соединиться с её концами.
Условие существования треугольника — правило проверки трёх положительных длин: наибольшая из них должна быть меньше суммы двух остальных. Если условие выполняется, такой треугольник можно построить; если нет — нельзя. Равенство не подходит, потому что тогда отрезки не образуют настоящую треугольную фигуру.
Представь путь между двумя точками. Самый короткий путь между ними — отрезок, а путь через третью точку не может быть короче этого отрезка. Теперь возьми вершины треугольника: одна его сторона соединяет две вершины напрямую, а две другие образуют путь через третью вершину. Поэтому сторона короче суммы двух остальных. Равенство возможно лишь тогда, когда промежуточная точка лежит на прямом отрезке, а не образует угол.
Применим рассуждение к каждой стороне по очереди. Получатся три условия: a < b + c, b < a + c и c < a + b. Проверка только одной произвольно выбранной стороны недостаточна: короткая сторона может быть меньше суммы двух других, но третья, слишком длинная, всё равно не позволит замкнуть треугольник. Поэтому либо проверяют все три условия, либо используют короткое правило для наибольшей стороны.
Неравенства для одной стороны можно переписать так, чтобы увидеть и верхнюю, и нижнюю границу. Для стороны a нужны условия a < b + c и a > b − c; если c больше b, нижнюю границу записывают как a > c − b. Вместе это означает |b − c| < a < b + c, где |b − c| — разность большей и меньшей длин. Значит, сторона должна быть не слишком длинной и не слишком короткой относительно двух других.
Когда все три длины известны, упорядочи их: пусть наибольшая — c, а две меньшие — a и b. Если c < a + b, то для стороны c условие выполнено. Условия для a и b тоже выполняются: каждая из них меньше c, а c меньше a + b, следовательно, тем более меньше суммы, в которую входит другая короткая сторона. Так все три проверки сводятся к одному сравнению.
Неравенства должны быть строгими, то есть вместо знака < нельзя ставить знак равенства. Если c = a + b, отрезки длиной a и b можно расположить подряд вдоль отрезка c: их концы совпадут, но изгиба не будет. Три вершины окажутся на одной прямой, и треугольник не получится. Если c > a + b, двух коротких сторон вообще не хватит, чтобы соединить концы длинной.
| Сторона | Необходимое сравнение | Эквивалентная запись |
|---|---|---|
| a | a < b + c | |b − c| < a < b + c |
| b | b < a + c | |a − c| < b < a + c |
| c | c < a + b | |a − b| < c < a + b |
| Проверка существования треугольника | Наибольшая сторона < суммы двух остальных | c < a + b, если c — наибольшая |
В первых трёх строках сравнивается одна сторона с двумя оставшимися; двойная запись показывает её нижнюю и верхнюю границы. Чтобы проверить уже заданные три длины, найди наибольшую и воспользуйся последней строкой. Знак должен быть строгим: при равенстве треугольник не существует.
Для проверки достаточно рассмотреть наибольшую длину, потому что именно для неё условие может нарушиться. Стороны 4 см и 7 см в сумме дают 11 см. Проверим, превышает ли эта сумма длину 10 см.
Ответ: можно построить треугольник со сторонами 4 см, 7 см и 10 см. Две короткие стороны вместе длиннее самой длинной, поэтому они могут соединить её концы.
Наибольшая сторона равна 5 см, а сумма двух остальных составляет 2 + 3 = 5 см. Получилось равенство, а для треугольника требуется строгое неравенство. Если уложить отрезки 2 см и 3 см подряд, они как раз составят отрезок 5 см и не образуют угол.
Ответ: построить такой треугольник нельзя. В предельном случае все три точки лежат на одной прямой, поэтому получается отрезок, а не треугольник.
Неизвестная длина должна быть положительной. Кроме того, для стороны x она должна быть меньше суммы 5 и 8, а для стороны 8 — больше разности 8 и 5. Эти условия дают границы для x; проверка стороны 5 не добавит более строгого ограничения.
Ответ: x может быть любым числом больше 3 и меньше 13. Концы промежутка не подходят: при x = 3 две меньшие длины дают в сумме 8, а при x = 13 длина x равна сумме 5 и 8.
Проверять только одно неравенство для произвольно выбранной стороны. Оно может оказаться верным, хотя другая сторона слишком длинная. Так ошибаются, когда не замечают, что условие относится к каждой стороне. Для самопроверки проверь все три условия или выбери наибольшую длину и сравни её с суммой двух остальных.
Считать допустимым равенство стороны сумме двух других. Равенство кажется подходящим, потому что длины сходятся точно, но точки при этом лежат на одной прямой. Проверяй, что сумма строго больше наибольшей стороны, а не просто не меньше неё. Если в ответе получился знак равенства, построить треугольник нельзя.
Путать сумму и разность. Иногда ученик использует только одно из этих сравнений или меняет их местами. Сторона должна быть меньше суммы двух других и больше разности их длин: она не может быть ни слишком длинной, ни слишком короткой. Проверить себя помогает запись |b − c| < a < b + c для выбранной стороны a.
Забывать, что длина положительна. При решении задачи с переменной можно получить неравенства, но не учесть, что длина отрезка не бывает нулевой или отрицательной. Такая ошибка возникает, если механически объединить только условия треугольника. В конце проверьте, что все найденные значения переменной дают положительную длину.
Для этой темы нужно уметь сравнивать отрезки по длине, складывать и вычитать числа, а также преобразовывать неравенства. Эти действия помогают получить границы для неизвестной стороны и проверить, подходит ли набор длин. Само неравенство треугольника применяется при построении фигур по сторонам и в задачах на нахождение неизвестной длины. Оно позволяет заранее отсеять невозможные варианты, ещё до построения.
Почему длина стороны не может равняться сумме двух других?
Если длина одной стороны равна сумме длин двух других, два коротких отрезка можно уложить вдоль длинного. Все три точки окажутся на одной прямой, поэтому замкнутой фигуры с углом не получится.
Нужно ли проверять все три неравенства?
Для надёжной проверки можно записать неравенство для каждой стороны. Но если стороны положительны и их упорядочили по длине, достаточно проверить, что самая длинная меньше суммы двух остальных.
Как быстро проверить, можно ли построить треугольник по трём сторонам?
Сложите две меньшие длины и сравните сумму с наибольшей. Если сумма строго больше наибольшей стороны, треугольник построить можно; если она равна ей или меньше, нельзя.
Почему наибольшую сторону сравнивают с суммой двух меньших?
Именно для самой длинной стороны условие труднее всего выполнить: сумма двух других сторон у неё наименьшая относительно сравниваемой длины. Если это неравенство верно, то для каждой более короткой стороны оно тоже будет верным.
Как найти возможные значения неизвестной стороны?
Составьте два условия для неизвестной длины: она меньше суммы известных сторон и больше их разности. Затем учтите, что длина положительна, и объедините условия в двойное неравенство.
6.2. Неравенство треугольника
