"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Неравенство треугольника помогает понять, могут ли три заданные длины быть сторонами одного треугольника. Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других, а для быстрой проверки достаточно сравнить наибольшую длину с суммой оставшихся. Это правило позволяет проверять возможность построения и находить допустимые значения неизвестной стороны. Все сравнения строгие: если длина равна граничному значению, обычный треугольник построить нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство треугольника — правило: в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Если стороны обозначены a, b и c, правило записывается так: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Оно нужно, чтобы проверять, возможен ли треугольник с заданными длинами.
Сторона треугольника — отрезок, соединяющий две его вершины, то есть точки, в которых сходятся стороны. Длина стороны — положительное число, поэтому её обозначают числом с единицей измерения, например 5 см. Различать сам отрезок и его длину полезно, когда мы сравниваем стороны и записываем вычисления.
Условие существования треугольника по трём сторонам состоит в том, что каждая из трёх заданных длин меньше суммы двух остальных. Длины при этом должны быть положительными. Это условие позволяет решить, получится ли замкнутая фигура с тремя сторонами, ещё до того, как мы начнём её строить.
Представим треугольник с вершинами A, B и C. Между точками A и B можно пройти прямо по стороне AB или по ломаной ACB, то есть сначала по AC, затем по CB. Прямая между двумя точками короче любой ломаной, соединяющей эти же точки. Значит, AB < AC + CB: путь по двум сторонам длиннее оставшейся стороны.
Это рассуждение можно повторить для любой пары вершин. Чтобы получить все три неравенства, по очереди выбираем сторону, которую сравниваем с двумя другими: сначала a, затем b, затем c. Например, когда выбрана сторона b, запись будет b < a + c. Ни одна из сторон не получает особого положения, поэтому сравнить нужно каждую.
Условие не только необходимо, но и достаточно для существования треугольника. Необходимость следует из уже полученного свойства: если треугольник существует, все три неравенства верны. Для достаточности представим, что даны три положительные длины и каждое неравенство выполнено; можно построить треугольник с такими сторонами. Поэтому эти условия точно отделяют подходящие тройки длин от неподходящих.
Проверять все три записи каждый раз необязательно. Назовём наибольшую длину a, а остальные — b и c, причём b и c не больше a. Если a < b + c, то b < a + c выполняется, потому что b < a, а c положительно. По той же причине верно c < a + b. Значит, достаточно проверить только наибольшую сторону.
Если известны две стороны b и c, для третьей стороны a есть верхняя и нижняя границы. Верхняя следует из a < b + c. Пусть, например, b ≥ c: из b < a + c получаем b − c < a; в общем виде это записывают как |b − c| < a, где |b − c| — разность большей и меньшей длин. Вместе выходит |b − c| < a < b + c.
В таблице собраны условия, которые помогают решить, подходят ли длины для треугольника, и найти возможный диапазон неизвестной стороны. Сначала сравните длины и определите, какая из них наибольшая. Если ищете третью сторону, используйте обе строгие границы, а не только верхнюю.
| Проверяемое условие | Вывод |
|---|---|
| a < b + c, b < a + c, c < a + b | Длины a, b, c могут быть сторонами треугольника |
| Наибольшая длина меньше суммы двух остальных | Достаточно проверить только это неравенство |
| Наибольшая длина равна сумме двух остальных или больше неё | Треугольник построить нельзя |
| |b − c| < a < b + c | Границы для стороны a при известных b и c |
Проверим, не слишком ли велика самая длинная сторона. Если сумма двух меньших длин больше неё, выполняется главное условие существования треугольника. После этого остальные неравенства отдельно проверять не потребуется.
Ответ: треугольник построить можно.
Неизвестная сторона должна быть не только меньше суммы известных сторон, но и больше их разности. Иначе одна из известных сторон окажется не меньше суммы двух оставшихся. Запишем обе границы и найдём целые числа между ними.
Ответ: x = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 или 12.
Обозначим неизвестную сторону через x. Чтобы получить допустимые длины, сначала найдём разность известных сторон, а затем их сумму. Строгость границ означает, что сами крайние числа в ответ не входят.
Ответ: длина третьей стороны может быть равна 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 или 18 см.
Можно проверить только одно неравенство, не выяснив, какая сторона наибольшая. Так ошибаются, если выбирают для проверки сторону наугад: именно большая сторона предъявляет самое строгое требование. Для самопроверки расположите длины по возрастанию и сравните наибольшую с суммой двух меньших.
Условие «наибольшая сторона не больше суммы остальных» включает лишний случай равенства. Его иногда принимают за допустимый, потому что слово «не больше» разрешает равные числа. Проверьте знак: требуется строгое «меньше», а при равенстве треугольник не образуется.
Для неизвестной стороны записывают лишь верхнюю границу a < b + c. Из-за этого не замечают, что сторона может быть слишком короткой относительно двух известных. Для проверки запишите и нижнюю границу: a > |b − c|.
В промежуток для неизвестной стороны включают его концы. Это происходит, когда забывают, что неравенства строгие. Подставьте граничное значение: равенство одной стороны сумме двух других означает, что треугольник не получится.
Для этой темы нужно уметь распознавать отрезок и треугольник, понимать, что такое длина отрезка, и сравнивать числа. Эти знания помогают переводить условие задачи в неравенства и проверять их. Неравенство треугольника пригодится в задачах на построение и поиск возможных длин сторон. Его объяснение связано с идеей кратчайшего пути: прямая между точками короче ломаной, соединяющей их.
Почему сторона треугольника не может равняться сумме двух других?
Если одна сторона равна сумме двух других, путь по этим сторонам складывается в прямую линию. Получается вырожденная фигура, а не треугольник с углом. Поэтому неравенства должны быть строгими.
Нужно ли проверять все три неравенства для сторон?
Для полного условия нужно, чтобы каждое из трёх неравенств выполнялось. Но при проверке длин достаточно сравнить наибольшую с суммой двух остальных: если это условие выполнено, два других тоже выполняются.
Как быстро проверить, можно ли построить треугольник по трём длинам?
Выберите наибольшую длину и сравните её с суммой двух меньших. Если она строго меньше этой суммы, треугольник существует; если равна ей или больше — построить его нельзя.
Почему третья сторона должна быть больше разности двух известных сторон?
Из неравенства для большей из известных сторон следует, что её длина меньше суммы другой известной стороны и третьей. После переноса слагаемого получается нижняя граница: третья сторона больше разности известных сторон.
Какие целые значения может принимать неизвестная сторона треугольника?
Если известные стороны равны b и c, неизвестная сторона a должна удовлетворять условию |b − c| < a < b + c. Для целых значений выпишите целые числа строго между этими границами и оставьте только положительные.
4.3 Неравенство треугольника
