33. Неравенство треугольника

Определения и обозначения

Стороны треугольника — это отрезки, соединяющие его вершины и образующие замкнутую фигуру. Длины трёх сторон обычно обозначают буквами a, b и c. Такое обозначение помогает записывать условия и сравнивать стороны, не повторяя каждый раз их названия.

Неравенство треугольника — правило, согласно которому сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей. Слово «любых» означает, что утверждение относится к каждой из трёх сторон, а не только к одной выбранной. Правило позволяет проверить, смогут ли отрезки заданных длин образовать треугольник.

Невырожденный треугольник — фигура, вершины которой не лежат на одной прямой. Если сумма двух сторон равна третьей, отрезки вытягиваются в прямую линию, поэтому треугольника в обычном смысле не возникает. Это объясняет, почему в неравенстве треугольника нельзя заменять знак «больше» на «больше или равно».

Как это устроено

Представь путь из одной вершины треугольника в другую. Можно пройти по двум сторонам через третью вершину, а можно сразу по стороне, соединяющей начало и конец пути. Прямой отрезок между точками короче ломаной, поэтому сумма длин двух сторон больше длины третьей. Именно этим объясняется строгость неравенства.

Если длины сторон обозначены a, b и c, получаем три условия: a + b > c, a + c > b и b + c > a. Первое сравнивает сумму сторон a и b со стороной c, второе — сумму a и c со стороной b, третье — сумму b и c со стороной a. Все три записи нужны, потому что каждая сторона по очереди может оказаться той, с которой сравнивают сумму двух остальных.

Для проверки заданных положительных длин удобно сначала расположить их по возрастанию. Если две меньшие стороны в сумме больше наибольшей, то две другие суммы тем более будут больше соответствующих сторон. Например, при длинах 5, 6 и 8 достаточно проверить 5 + 6 > 8. Следовательно, достаточно сравнить сумму двух меньших длин с наибольшей.

Пусть две известные стороны равны a и b, а неизвестная — c. Из условия a + b > c получаем верхнюю границу c < a + b. Два других неравенства дают c > b − a и c > a − b; вместе они означают, что c больше модуля разности |a − b|. Поэтому возможные значения задаются двойным условием |a − b| < c < a + b.

Граничные случаи помогают понять, почему оба знака строгие. Если c = a + b, отрезки длиной a и b могут продолжить друг друга на одной прямой, а третья сторона закроет этот путь точно отрезком той же длины. Если c больше a + b, двух отрезков не хватит, чтобы дотянуться до конца третьего. В обоих случаях треугольник построить нельзя.

Условия на длины сторон треугольника

Сначала определи, что именно требуется найти: проверить три длины или установить границы для неизвестной стороны. Во втором случае используй двойное неравенство, а для проверки готового набора удобно сравнить сумму двух меньших сторон с наибольшей. Равенство границе не подходит, потому что все условия должны быть строгими.

Разбор задач

Задача 1. Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 8 см? Проверим, хватает ли двух меньших отрезков, чтобы образовать путь длиннее наибольшей стороны. Это удобнее, чем проверять все суммы по очереди.

1. Упорядочим длины: 3 см и 4 см — две меньшие, 8 см — наибольшая сторона. Для существования треугольника необходимо, чтобы сумма меньших сторон была больше наибольшей. Такое сравнение проверяет решающее условие для всего набора.
2. Сложим меньшие длины: 3 + 4 = 7 см. Получилось 7 см, а это меньше 8 см. Значит, условие не выполняется, и длины не образуют треугольник.

Ответ: построить треугольник нельзя.

Задача 2. Одна сторона треугольника равна 7 см, другая — 11 см. Укажем целые значения длины третьей стороны. Сначала найдём все допустимые длины, а затем выберем среди них целые числа.

1. Обозначим неизвестную сторону через c. По неравенству треугольника она должна быть больше разности известных сторон и меньше их суммы. Поэтому записываем |11 − 7| < c < 11 + 7.
2. Вычислим границы: 4 < c < 18. Длина стороны должна быть целым положительным числом строго внутри этого промежутка. Числа 4 и 18 не подходят, поскольку границы не включены.
3. Перечислим целые числа от 5 до 17. Каждое из них больше 4 и меньше 18, поэтому для каждого можно построить треугольник с данными сторонами.

Ответ: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 17 см.

Задача 3. Докажем, что модуль разности длин любых двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны. Пусть стороны имеют длины a, b и c. Для доказательства используем два неравенства, в которых участвует c.

1. Запишем неравенство для суммы a и c: a + c > b. Перенесём a в правую часть: c > b − a, то есть b − a < c. Это показывает, что разность b − a меньше c.
2. Теперь возьмём другое неравенство: b + c > a. После переноса b получаем c > a − b, или a − b < c. Значит, и разность a − b меньше c.
3. Модуль |a − b| равен большему из чисел a − b и b − a. Оба числа меньше c, поэтому и их модуль меньше c. Рассуждение можно повторить для любой пары сторон.

Ответ: |a − b| < c; аналогично модуль разности любых двух сторон меньше третьей.

Типичные ошибки

Проверяют только одно неравенство для стороны, выбранной наугад. Так можно пропустить нарушение условия для другой стороны, потому что одна удачная сумма ещё не гарантирует выполнения остальных. Проверь все три неравенства или найди две меньшие стороны и сравни их сумму с наибольшей.

Заменяют строгое неравенство нестрогим и допускают равенство суммы двух сторон третьей. Такое происходит, когда забывают, что при равенстве отрезки лежат на одной прямой, а не образуют фигуру с углом. Для самопроверки спроси себя, останется ли у треугольника ненулевое «раскрытие»; при равенстве его нет.

Считают, что третья сторона может быть равна сумме двух известных сторон. Но верхняя граница c < a + b не включается: при равенстве получается вырожденная фигура. Подставь граничное значение в условие и проверь, станет ли треугольник невырожденным.

При поиске третьей стороны используют только условие c < a + b и забывают нижнюю границу. Тогда можно ошибочно принять слишком короткую сторону, которая не позволит соединить концы двух других. Всегда записывай обе части: |a − b| < c < a + b, а затем проверяй каждое значение внутри интервала.

Связь с другими темами

Для работы с неравенством треугольника нужно помнить, что длина отрезка положительна, а кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется соединяющим их отрезком. Эти сведения помогают понять геометрическую причину правила. Неравенство пригодится в задачах на возможные длины сторон и при доказательстве сравнений отрезков.

Дальше в геометрии изучают соотношения между сторонами и углами треугольника. Условия на длины сторон дополняют эти знания: они позволяют проверять, может ли заданный набор чисел относиться к треугольнику. Так одна и та же фигура рассматривается и через длины, и через углы.

Что запомнить

• Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей.
• Для проверки существования треугольника достаточно сравнить сумму двух меньших сторон с наибольшей.
• Если известны две стороны a и b, третья сторона c удовлетворяет условию |a − b| < c < a + b.
• Границы для третьей стороны строгие.
• Равенство суммы двух сторон третьей не даёт треугольника.