"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Прямоугольный треугольник — это треугольник с углом 90°. Его стороны устроены особым образом: напротив прямого угла находится гипотенуза, а две другие стороны — катеты. Зная свойства этих элементов, можно сравнивать прямоугольные треугольники и доказывать их равенство, даже если известны не все стороны и углы. Ещё одно полезное свойство связано с медианой к гипотенузе: её середина находится на одинаковом расстоянии от всех трёх вершин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°; два остальных угла острые. Такой треугольник легко узнать по значку прямого угла. Его свойства помогают находить неизвестные элементы и доказывать равенство фигур.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Это единственная сторона, которая не образует прямой угол с другой стороной. Знание гипотенузы особенно полезно, когда сравнивают треугольники или находят расстояния.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол. В прямоугольном треугольнике два катета, и каждый из них прилегает к прямому углу. По ним можно определить, какой угол или сторона соответствуют друг другу в двух треугольниках.
Медиана, проведённая к гипотенузе, — отрезок, соединяющий вершину прямого угла с серединой гипотенузы. Середина делит гипотенузу на две равные части. Эта медиана помогает быстро находить расстояния от середины гипотенузы до вершин.
В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Прямой угол равен 90°, а каждый из двух остальных углов острый, то есть меньше 90°. Значит, напротив прямого угла расположена сторона длиннее остальных. Эту сторону называют гипотенузой, поэтому она длиннее каждого катета.
Сумма углов любого треугольника составляет 180°. В прямоугольном треугольнике один угол уже занимает 90°, поэтому для двух оставшихся вместе остаётся 180° − 90° = 90°. Так получается, что острые углы дополняют друг друга до прямого угла. Если известен один острый угол, второй можно найти, вычитая его из 90°.
Чтобы доказать равенство двух прямоугольных треугольников, не всегда нужно знать все их стороны и углы. Например, если равны гипотенузы и один катет, прямые углы тоже равны по определению. Указанные стороны вместе с прямыми углами задают форму треугольника: у прямого угла можно построить одинаковый катет, а другой конец гипотенузы должен находиться на заданном расстоянии от его конца. Поэтому оставшиеся элементы совпадают, и треугольники равны.
Признаки равенства позволяют сопоставить прямоугольные треугольники по разным наборам данных. При равных катетах совпадают две стороны и угол между ними — прямой; при равных катете и остром угле можно использовать равенство прямого угла и признак по стороне и двум прилежащим углам. Равные гипотенуза и острый угол задают одинаковую сторону и угол вместе с прямым углом. Наконец, равенства гипотенузы и катета достаточно по специальному признаку для прямоугольных треугольников.
Пусть O — середина гипотенузы AB, а C — вершина прямого угла. Треугольник ABC можно вписать в окружность с диаметром AB: угол, опирающийся на диаметр, прямой. Центр этой окружности — точка O, поэтому OA, OB и OC являются её радиусами и равны. Значит, середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, а медиана CO равна OA, то есть половине AB.
| Равные элементы | Что позволяет заключить |
|---|---|
| Два катета | Прямоугольные треугольники равны |
| Катет и острый угол | Прямоугольные треугольники равны |
| Гипотенуза и острый угол | Прямоугольные треугольники равны |
| Гипотенуза и катет | Прямоугольные треугольники равны |
Сначала проверь, что оба треугольника прямоугольные, затем найди, какие равные элементы даны. Сопоставляй именно соответствующие стороны и углы: например, катет одного треугольника должен соответствовать катету другого. После этого выбери подходящую строку таблицы и сформулируй вывод о равенстве.
Задача 1. В двух прямоугольных треугольниках катеты соответственно равны 3 см и 4 см. Докажите равенство треугольников. Под «соответственно» понимается, что катет длиной 3 см в одном треугольнике равен катету длиной 3 см в другом, и так же для сторон по 4 см. Нужно определить, какой признак применим к этим данным.
Ответ: треугольники равны по двум катетам. Для этого доказательства не нужно отдельно находить гипотенузы: равных катетов и прямых углов достаточно.
Задача 2. В прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и один острый угол. Докажите равенство треугольников. Из условия уже известны равные стороны и углы, а прямые углы равны между собой. Нужно проверить, что имеющиеся элементы позволяют применить признак равенства.
Ответ: треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Перед применением признака убедись, что указанные углы действительно острые и взяты в соответствующих треугольниках.
Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см. Найдите медиану, проведённую к ней, и расстояние от её середины до вершин треугольника. Сначала применим свойство середины гипотенузы: она равноудалена от всех вершин. Затем используем, что расстояние до конца гипотенузы составляет половину её длины.
Ответ: медиана равна 5 см, а расстояние от её середины до каждой вершины равно 5 см.
Иногда катетом называют сторону напротив прямого угла. Это происходит, если ориентироваться только на длину стороны или забыть, как определяются элементы треугольника. Проверь себя: две стороны, образующие прямой угол, — катеты, а противоположная ему сторона — гипотенуза.
Равенства одного катета недостаточно, чтобы заключить, что прямоугольные треугольники равны. Такой катет может сочетаться с разными гипотенузами или острыми углами, поэтому форма треугольника не обязательно совпадёт. Перед выводом проверь, есть ли ещё один набор данных из признака равенства: например, второй катет или гипотенуза.
При применении признака иногда путают острый угол, прилежащий к катету, с углом напротив него. Причина — в том, что у катета есть два конца и он связан с разными углами треугольника. Отметь вершину угла и проследи, какие стороны его образуют; тогда станет ясно, прилежит катет к углу или лежит напротив.
Медиану к гипотенузе иногда ошибочно принимают за половину катета. Вероятно, путают сторону, к которой проведена медиана, и сторону, на которую приходится её длина. Сначала найди середину именно гипотенузы: медиана равна половине гипотенузы, а не катета.
Для работы с прямоугольными треугольниками нужны сумма углов треугольника и признаки равенства треугольников. Свойства углов при пересечении прямых помогают распознавать равные углы в задачах, где треугольники расположены рядом или имеют общую сторону. Эти знания пригодятся при доказательстве равенства фигур и нахождении расстояний. Они также помогают решать задачи на построение треугольника по заданным элементам.
Как отличить гипотенузу от катетов?
Найди прямой угол: две стороны, которые его образуют, — катеты. Третья сторона лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой.
Почему сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°?
Сумма всех углов любого треугольника равна 180°. Один угол прямой, то есть равен 90°, поэтому на два остальных вместе остаётся 90°.
Каких данных достаточно, чтобы доказать равенство прямоугольных треугольников?
Достаточно равенства двух катетов, катета и острого угла, гипотенузы и острого угла или гипотенузы и катета. В каждом случае прямые углы уже равны, а остальные элементы однозначно определяются указанными.
Почему гипотенуза длиннее катетов?
В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Прямой угол больше каждого острого, поэтому напротив него лежит самая длинная сторона — гипотенуза.
Чему равна медиана, проведённая к гипотенузе?
Она равна половине гипотенузы. Середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин, поэтому расстояние до вершины прямого угла равно расстоянию до концов гипотенузы.
§ 3. Прямоугольные треугольники
