"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Прямоугольный треугольник — треугольник с углом 90°. Его стороны называются катетами и гипотенузой, а два остальных угла всегда острые и в сумме дают 90°. Эти свойства позволяют находить неизвестные углы и стороны, а также доказывать равенство треугольников. Особенно полезно свойство угла 30°: лежащий напротив него катет равен половине гипотенузы. Такие знания помогают решать задачи на чертежах и готовят к изучению связей между сторонами и углами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого прямой, то есть равен 90°. Два других его угла острые, то есть меньше 90°. Это название сразу подсказывает, что при решении задачи можно использовать свойства прямого угла.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она не образует прямой угол и в таком треугольнике всегда только одна. Найдите её по положению, а не просто по длине: это поможет правильно выбрать сторону в вычислении или доказательстве.
Катет — каждая из двух сторон, образующих прямой угол. У прямоугольного треугольника два катета, и каждый из них прилегает к прямому углу. Так называют стороны, чтобы отличать их от гипотенузы и точно указывать нужную сторону в задаче.
Острые углы прямоугольного треугольника — два угла, сумма которых равна 90°. Они расположены при концах гипотенузы и каждый меньше прямого угла. Если известен один из них, это определение позволяет сразу найти второй.
Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол уже занимает 90°, поэтому на два оставшихся вместе остаётся 180° − 90° = 90°. Значит, если один острый угол равен α, второй равен 90° − α: например, при α = 38° получаем 52°.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол больше обоих острых, поэтому сторона напротив него — гипотенуза — длиннее каждого катета. Это полезно для проверки ответа: если вычисленная гипотенуза оказалась короче катета, где-то допущена ошибка.
Если острый угол равен 30°, второй острый угол равен 60°. Достроим прямоугольный треугольник до равностороннего: его гипотенуза станет стороной равностороннего треугольника, а катет напротив 30° — половиной этой стороны. Поэтому такой катет равен половине гипотенузы. Свойство относится именно к катету напротив угла 30°, а не к любому катету.
У двух прямоугольных треугольников прямые углы равны. Если равны также гипотенузы и по одному острому углу, то равны две пары углов и сторона между ними — гипотенуза. По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам эти прямоугольные треугольники равны. При доказательстве важно сопоставить вершины так, чтобы равные элементы стояли в соответствующих местах.
Сначала на чертеже находят прямой угол и определяют, какая сторона напротив него. Затем сумму острых углов используют для поиска неизвестного угла, а при угле 30° — для нахождения противоположного катета. Если требуется доказать равенство, отмечают соответствующие гипотенузы и острые углы, после чего применяют признак. Такой порядок помогает не перепутать стороны и объяснить каждый шаг решения.
| Свойство | Формулировка | Как применить |
|---|---|---|
| Сумма острых углов | Острые углы в сумме дают 90°. | Из 90° вычесть известный острый угол. |
| Положение гипотенузы относительно катетов | Гипотенуза лежит напротив прямого угла и длиннее каждого катета. | Найти её по прямому углу и проверить порядок длин. |
| Катет напротив угла 30° | Он равен половине гипотенузы. | Разделить гипотенузу на 2 или удвоить катет. |
| Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу | Если равны гипотенузы и по одному острому углу, треугольники равны. | Сопоставить соответствующие элементы и применить признак. |
Выберите в таблице свойство по данным задачи: углу, длине стороны или необходимости доказать равенство. Перед применением проверьте, что сторона действительно является гипотенузой, а катет напротив 30° определён верно. В последнем случае особенно важно указать соответствие элементов двух треугольников.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 38°. Найдите второй острый угол.
Ответ: 52°.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 14 см, один острый угол равен 30°. Найдите катет напротив этого угла.
Ответ: 7 см.
Задача 3. В двух прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и по одному острому углу. Докажите равенство треугольников и найдите соответствующие неизвестные элементы.
Ответ: треугольники равны; соответствующие неизвестные элементы равны. Их численные значения можно найти, если заданы дополнительные числовые данные.
Ошибка: называть гипотенузой любую самую длинную сторону. Гипотенузу определяют не сравнением длин, а тем, что она лежит напротив прямого угла; длина лишь следует из этого свойства. Чтобы проверить себя, сначала отметьте угол 90° и найдите противоположную ему сторону.
Ошибка: считать, что каждый катет вдвое меньше гипотенузы. Так бывает только с катетом, который лежит напротив угла 30°, а второй катет может иметь другую длину. Перед вычислением проверьте, какой именно угол равен 30° и какая сторона лежит напротив него.
Ошибка: вычитать известный острый угол из 180°. Тогда не учитывается прямой угол, который уже равен 90°. Сначала найдите сумму острых углов: она равна 90°, и только из неё вычитайте известный острый угол.
Ошибка: объявлять прямоугольные треугольники равными, не указав соответствующие элементы. Равенство сторон или углов помогает доказательству, только если они занимают одинаковое положение в треугольниках. Обозначьте соответствующие вершины и проверьте, что сравниваете гипотенузы с гипотенузами, а равные острые углы — друг с другом.
Для работы с прямоугольными треугольниками нужно знать сумму углов треугольника, а также отличать прямой угол от острого. Именно эти знания объясняют, почему два острых угла вместе дают 90°.
Признаки равенства треугольников помогают обосновать, почему совпадение гипотенуз и острых углов позволяет заключить, что прямоугольные треугольники равны. Полученное равенство используют затем, чтобы установить равенство остальных соответствующих сторон и углов.
Эти свойства пригодятся при дальнейшем изучении связей между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Умение различать катеты и гипотенузу и находить углы станет основой для таких задач.
Как отличить гипотенузу от катетов?
Сначала найдите прямой угол. Сторона напротив него — гипотенуза, а две стороны, которые образуют этот угол, — катеты.
Почему сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°?
Сумма всех углов треугольника равна 180°. Если один угол равен 90°, на два оставшихся вместе приходится 90°.
Всегда ли гипотенуза длиннее катетов?
Да. Она лежит напротив прямого угла, который больше каждого острого угла, а напротив большего угла треугольника лежит большая сторона.
Как найти катет, лежащий напротив угла 30°?
Разделите длину гипотенузы на 2. Например, если гипотенуза равна 14 см, такой катет равен 7 см.
По каким элементам можно доказать равенство прямоугольных треугольников?
Достаточно установить равенство гипотенуз и одного острого угла в соответствующих треугольниках. Их прямые углы тоже равны, поэтому можно применить признак равенства по стороне и двум прилежащим углам.
§ 14. Прямоугольные треугольники
