"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Стороны треугольника связаны строгими правилами: каждая из них меньше суммы двух других и больше их разности. Эти соотношения помогают проверить, существует ли треугольник с заданными длинами, найти возможный диапазон неизвестной стороны и сравнить стороны по величине углов. Главное соответствие таково: большей стороне противолежит больший угол, а равным сторонам — равные углы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рассмотрим треугольник ABC и обозначим его стороны: a = BC, b = AC, c = AB. Сторона BC лежит напротив вершины A, сторона AC — напротив вершины B, а сторона AB — напротив вершины C. Такие обозначения нужны, чтобы коротко записывать условия и связывать сторону с противолежащим углом.
Неравенство треугольника утверждает: длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон. Например, a < b + c. Это правило позволяет проверить, можно ли из трёх отрезков построить настоящий треугольник.
Каждая сторона также больше модуля разности двух других сторон: a > |b − c|. Модуль разности показывает расстояние между двумя числами без учёта знака. Вместе верхняя и нижняя границы помогают найти все возможные длины неизвестной стороны.
Стороны и противолежащие углы сравниваются в одном порядке: большей стороне противолежит больший угол, а равным сторонам — равные углы. Например, если a > b, то угол A > угла B, потому что сторона a лежит напротив угла A. Это позволяет делать вывод о сторонах, даже если в условии даны только углы.
Представим два конца стороны a. По отрезку BC можно попасть из одной точки в другую прямо, а по двум другим сторонам сначала пройти от B до A, затем от A до C. Ломаная BA + AC не короче прямого отрезка BC, а в треугольнике она длиннее, потому что точки не лежат на одной прямой. Поэтому b + c > a, то есть сумма двух сторон больше третьей.
Из неравенства a + c > b вычтем c и получим a > b − c. Из b + c > a следует c > a − b, или a > b − c в зависимости от порядка чисел. Объединяя оба ограничения, получаем a > |b − c|. Значит, длина третьей стороны должна находиться внутри двойного неравенства |b − c| < a < b + c.
Чтобы проверить три заданных положительных числа, не обязательно записывать три отдельных неравенства. Достаточно найти наибольшее число: именно для него самое трудное условие — быть меньше суммы двух остальных. Если наибольшее меньше этой суммы, два других автоматически меньше суммы, включающей наибольшее число.
Связь сторон и углов объясняется поворотом двух лучей с общей вершиной. Чем больше угол между ними, тем дальше друг от друга оказываются точки на концах равных отрезков, поэтому против большего угла появляется большая сторона. Обратное утверждение работает так же: большая сторона показывает, что угол напротив неё больше.
Если две стороны равны, симметрия треугольника приводит к равенству противолежащих углов. Верно и обратное: равные углы противолежат равным сторонам. Эти правила помогают находить периметр и границы неизвестной стороны, но все неравенства остаются строгими: равенство означает, что три точки выстроились на одной прямой и треугольник стал вырожденным.
| Ситуация | Соотношение | Следствие |
|---|---|---|
| Сторона a и две другие стороны b, c | |b − c| < a < b + c | Можно найти границы длины a |
| Любая сторона треугольника | a < b + c, b < a + c, c < a + b | Каждая сторона меньше суммы двух других |
| Стороны и противолежащие углы | a > b тогда и только тогда, когда угол A > угла B | Сравнение одной пары даёт сравнение другой |
| Равные стороны и противолежащие углы | a = b тогда и только тогда, когда угол A = угла B | Равенство сторон соответствует равенству углов |
Сначала определите, какая сторона или угол находится напротив нужного элемента. Затем выберите строку таблицы: для длин используйте двойное неравенство, а для сравнения — соответствие стороны и угла. Если проверяются три числа, ориентируйтесь на наибольшее из них.
Нужно проверить, выполняется ли неравенство треугольника. Наибольшая длина равна 10, поэтому именно её сравним с суммой двух других. Если условие выполнено, остальные два неравенства также выполняются.
Ответ: да, числа 4, 7 и 10 могут быть длинами сторон треугольника.
Обозначим третью сторону через x. Её длина должна быть больше модуля разности известных сторон и меньше их суммы. Получившийся промежуток нужно перевести в ответ про целые числа.
Ответ: длина третьей стороны может быть любой между 3 и 13 см; если нужны целые длины, это 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12 см.
Нельзя сравнивать угол с прилежащей стороной: сначала нужно найти стороны, лежащие напротив данных углов. Напротив угла A находится BC, а напротив угла B — AC. Теперь применяем правило о порядке противолежащих сторон и углов.
Ответ: BC > AC.
Иногда проверяют только одно случайное неравенство, например 4 + 7 > 10, и считают этого достаточно. Проверять нужно наибольшую сторону: она должна быть меньше суммы двух остальных. Если это выполнено, остальные проверки уже следуют автоматически.
Некоторые ставят знак равенства: a = b + c или a = |b − c|. В таком случае отрезки складываются в прямую линию, и треугольник вырождается. Самопроверка проста: в границах всегда должны стоять строгие знаки < и >.
Ещё одна ошибка — сравнивать угол с ближайшей к нему стороной. Противолежащая сторона не имеет общей вершины с углом, поэтому для угла A это BC, а не AB или AC. Перед сравнением подпишите или мысленно определите сторону напротив каждого угла.
Порядок иногда переворачивают и считают, что большей стороне противолежит меньший угол. На самом деле соответствие сохраняет порядок: большая сторона — больший угол, меньшая сторона — меньший угол. Проверить себя можно, выписав пары «сторона — противолежащий угол».
Для этой темы нужны обозначения сторон и углов треугольника, умение сравнивать отрезки и применять свойства неравенств. Неравенство треугольника используется при проверке существования фигуры и поиске границ неизвестной стороны. Сравнение сторон и углов пригодится при изучении равнобедренного треугольника и в задачах на доказательство.
Как быстро проверить, могут ли три числа быть сторонами треугольника?
Нужно выбрать наибольшее число и сравнить его с суммой двух остальных. Если наибольшее число меньше этой суммы, треугольник существует; если равно или больше, построить его нельзя.
Почему в неравенстве треугольника нельзя поставить знак равенства?
При равенстве сумма двух сторон образует прямую линию вместе с третьей стороной. Все вершины тогда лежат на одной прямой, поэтому получается вырожденная фигура, а не треугольник.
Как найти возможные значения третьей стороны, если известны две?
Если известные стороны равны b и c, третья сторона a должна удовлетворять условию |b − c| < a < b + c. Концы этого промежутка не подходят, потому что при равенстве фигура вырождается.
Какая сторона лежит напротив заданного угла?
Противолежащая сторона не имеет общей вершины с данным углом. Например, углу A в треугольнике ABC противолежит сторона BC.
Если одна сторона больше другой, что можно сказать о противолежащих углах?
Против большей стороны лежит больший угол. Например, если BC > AC, то угол A > угла B, потому что эти стороны противолежат соответственно углам A и B.
§ 13. Соотношения между сторонами треугольника
