§ 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Определения и обозначения

Противолежащая сторона — сторона треугольника, не имеющая общей вершины с данным углом. Например, в треугольнике ABC углу A противолежит сторона BC: вершина A не лежит на этой стороне. Аналогично углу B противолежит AC, а углу C — AB. Такое обозначение помогает не спутать сторону с двумя сторонами, которые образуют угол.

Противолежащий угол — угол треугольника, лежащий напротив данной стороны. Так, стороне AB в треугольнике ABC противолежит угол C, а стороне AC — угол B. Чтобы быстро найти нужную пару, достаточно посмотреть на вершину, которая не является концом стороны. Понятие нужно для точного сравнения сторон и углов.

Неравенство треугольника — утверждение, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Если стороны обозначены a, b и c, то должны выполняться три условия: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Это правило объясняется тем, что прямая между двумя точками короче любого пути с поворотом. Оно позволяет проверить, могут ли три заданных отрезка составить треугольник.

Как это устроено

Каждой стороне треугольника соответствует угол напротив неё. В треугольнике ABC сторона AB образует пару с углом C, сторона AC — с углом B, а сторона BC — с углом A. На условном чертеже можно отметить сторону AB и выделить угол C в вершине, которая не входит в AB. Такое сопоставление важно: теоремы сравнивают не любые элементы, а именно противолежащие.

Теорема утверждает: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Например, если AB > AC, то против AB расположен угол C, а против AC — угол B, поэтому ∠C > ∠B. Причина в том, что длинная сторона стягивает более широкое раскрытие угла напротив неё. Сравнение здесь означает только порядок величин: не обязательно знать точные градусы углов.

Обратное утверждение связывает углы со сторонами: против большего угла лежит большая сторона. Если ∠A > ∠B, то сторона BC, лежащая напротив A, больше стороны AC, лежащей напротив B. Это позволяет сравнивать длины без измерений, когда из условия уже известно, какой угол больше. Нужно сначала установить, какая сторона расположена напротив каждого из сравниваемых углов.

Из двух утверждений следует, что наибольшей стороне соответствует наибольший угол, а наименьшей стороне — наименьший угол. Чтобы найти их, можно упорядочить стороны и для каждой отметить противолежащий угол. Например, если AB — самая длинная сторона, то наибольшим будет угол C. Если две стороны равны, их противолежащие углы равны, поэтому строгого сравнения между ними нет.

Неравенство треугольника связано с тем, что две стороны вместе должны позволять соединить концы третьей стороны. Для длин a, b и c это означает, что ни одна из них не может быть равна сумме двух других или превосходить её. Если известны две стороны, третья x должна быть меньше их суммы и больше их разности: |a − b| < x < a + b. Проверка всех условий показывает, существует ли треугольник с такими сторонами.

Соотношения между сторонами и противолежащими углами

Сначала определи, какие именно элементы сравниваются, затем найди противолежащие им элементы. В первых трёх строках таблицы используется связь сторон с углами, а в последней — неравенство треугольника. Учитывай, что равным сторонам соответствуют равные углы, а условие для сторон должно быть строгим.

Разбор задач

В треугольнике ABC стороны AB = 5 см и AC = 7 см. Сравните углы C и B. Угол C лежит напротив AB, а угол B — напротив AC, поэтому сравнивать нужно именно данные стороны. По теореме большему отрезку соответствует больший противолежащий угол.

1. Сопоставим сторону AB с углом C, а сторону AC — с углом B. Это противолежащие пары, потому что каждая вершина угла не принадлежит соответствующей стороне. Сравнение прилежащих углов здесь не требуется.
2. Сравним длины: 7 см > 5 см, значит AC > AB. По теореме против большей стороны AC лежит больший угол B. Следовательно, ∠B > ∠C.
3. Проверим соответствие: угол B находится напротив стороны AC длиной 7 см, а угол C — напротив AB длиной 5 см. Поэтому полученное направление сравнения верно. Ответ: ∠C < ∠B.

В треугольнике один угол больше другого. Сравните стороны, лежащие напротив этих углов. Здесь сравнение начинается с углов, поэтому нужно применить обратное утверждение теоремы. Оно позволяет перейти от величины угла к длине противоположной стороны.

1. Обозначим больший угол как ∠A, а меньший — как ∠B. В треугольнике ABC напротив ∠A находится сторона BC, а напротив ∠B — сторона AC. Сначала важно правильно установить эти пары.
2. По обратному утверждению против большего угла лежит большая сторона. Значит, BC > AC. Точные длины сторон для сравнения не нужны.
3. Если названия углов в условии другие, рассуждение остаётся тем же: напротив большего угла будет большая из сравниваемых сторон. Ответ: сторона напротив большего угла больше.

Две стороны треугольника равны 5 см и 8 см. Найдите все целые значения длины третьей стороны. Пусть третья сторона равна x см. Она должна быть меньше суммы известных сторон и больше их разности, иначе треугольник не получится.

1. Применим верхнее ограничение: x < 5 + 8, то есть x < 13. Если бы третья сторона была равна 13 см или длиннее, длины 5 и 8 см не позволили бы замкнуть треугольник.
2. Применим нижнее ограничение: x > 8 − 5, то есть x > 3. Сторона не может быть равна 3 см: тогда она вместе с отрезком 5 см дала бы ровно 8 см, и треугольник выродился бы в прямую.
3. Итак, 3 < x < 13. Целые числа строго между 3 и 13 — это 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12. Ответ: третья сторона может иметь любую из этих длин в сантиметрах.

Типичные ошибки

При сравнении стороны с углом иногда выбирают угол, который прилегает к этой стороне. Так происходит, потому что он сразу заметен у её конца, но теорема относится к углу напротив стороны. Найди вершину, не принадлежащую стороне: угол в этой вершине и будет нужным. Например, стороне AB противолежит угол C, а не углы A и B.

Прямое и обратное утверждения легко перепутать. Первое начинается со сравнения сторон и позволяет сравнить углы, второе начинается со сравнения углов и позволяет сравнить стороны. Перед решением запиши, что дано и что требуется найти, а затем выбери подходящее направление перехода. Так станет понятно, какую теорему применять.

Равные стороны не дают неравных противолежащих углов. Ошибка появляется, когда ученик автоматически переносит правило о большей стороне на случай равенства и пытается выбрать больший угол. На самом деле равным сторонам соответствуют равные углы. Проверь, есть ли строгий знак сравнения в условии: если стороны равны, сравниваемые углы тоже равны.

Проверять только верхнюю границу третьей стороны недостаточно. Например, для сторон 5 и 8 число 2 меньше их суммы 13, но треугольник с третьей стороной 2 см невозможен. Третья сторона должна быть также больше разности 8 − 5 = 3 см. Для самопроверки используй оба условия: разность меньше неизвестной стороны, а неизвестная меньше суммы.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно знать элементы треугольника: вершины, стороны и углы, а также их обозначения. Понадобятся и умения сравнивать отрезки и углы. Они помогают правильно определить противолежащие пары и прочитать условие задачи.

Соотношения сторон и углов используют, когда требуется сравнить элементы треугольника без их измерения. Неравенство треугольника помогает проверять, существует ли треугольник с заданными длинами. Оно же даёт границы для неизвестной стороны.

Эти знания пригодятся при дальнейшем изучении свойств и признаков треугольников. Свойства описывают, какие связи есть у фигур, а признаки помогают установить, когда треугольники обладают нужными общими свойствами. Умение сопоставлять углы и стороны станет основой для таких рассуждений.

Что запомнить

• Большей стороне треугольника противолежит больший угол.
• Большему углу треугольника противолежит большая сторона.
• Равным сторонам противолежат равные углы.
• Наибольшая сторона лежит против наибольшего угла.
• Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
• Третья сторона больше разности двух других сторон.