8. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Определения и обозначения

Противолежащие сторона и угол — сторона и угол треугольника, расположенные напротив друг друга. В треугольнике ABC стороне AB противолежит ∠C, стороне BC — ∠A, а стороне AC — ∠B. Такое соответствие нужно, чтобы правильно сравнивать длины сторон и величины углов.

Большая и меньшая стороны треугольника — стороны, сравниваемые по длине. Большей стороне соответствует больший противолежащий угол, а меньшей — меньший. Поэтому по длинам сторон можно установить порядок углов.

Больший и меньший углы треугольника — углы, сравниваемые по величине. Большему углу противолежит большая сторона, меньшему — меньшая. Это позволяет находить самую длинную сторону, даже если известны только углы.

Неравенство треугольника — правило, согласно которому длина каждой стороны меньше суммы длин двух других: a < b + c, b < a + c, c < a + b. Оно показывает, могут ли три заданных отрезка соединиться в замкнутую фигуру — треугольник.

Как это устроено

Пусть в треугольнике ABC сторона AB больше стороны AC. Чтобы сравнить соответствующие углы, можно мысленно отметить на AB отрезок AD, равный AC, и соединить D с C. Получится равнобедренный треугольник ACD, поэтому ∠ACD = ∠CDA. Луч AD лежит внутри угла A, а угол при C исходного треугольника оказывается больше угла ACD; значит, ∠C > ∠B.

Обратное утверждение звучит так: если один угол треугольника больше другого, то противолежащая ему сторона больше. Доказать это можно от противного: если сторона напротив большего угла была бы меньше или равна другой, то по уже установленному правилу соответствующий угол был бы меньше или равен. Это противоречит условию, поэтому большему углу обязательно соответствует большая сторона.

Чтобы расположить все элементы треугольника, сначала упорядочивают стороны по длине, а затем заменяют каждую сторону её противолежащим углом. Например, если BC > AC > AB, то ∠A > ∠B > ∠C. Так можно перейти от самого длинного отрезка к самому большому углу и не перепутать вершину: сторона BC лежит напротив вершины A.

Если AB = AC, то треугольник равнобедренный, а противолежащие им углы B и C равны. Верно и обратное: из ∠B = ∠C следует AB = AC, потому что равным углам не могут соответствовать разные по длине противолежащие стороны. Так соотношения между сторонами и углами объясняют свойство равнобедренного треугольника.

Пусть самая длинная сторона треугольника равна a, а остальные — b и c. Две другие стороны вместе должны быть длиннее a, иначе они не смогут соединить концы этого отрезка и образовать замкнутую фигуру: a < b + c. Поскольку a — наибольшая сторона, из этого условия следуют и два других неравенства, поэтому для проверки трёх отрезков достаточно сравнить сумму меньших с наибольшим.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

В таблице сначала определите, что именно дано: сравнение сторон, углов или равенство. Затем найдите противолежащие элементы, а не соседние с ними. Последняя строка помогает проверить существование треугольника по трём длинам.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC даны AB = 7 см, AC = 5 см, BC = 4 см. Расположите углы треугольника в порядке возрастания. Нужно сопоставить каждый угол со стороной напротив него. После этого порядок длин сторон превратится в порядок величин углов.

1. Упорядочим стороны: BC = 4 см < AC = 5 см < AB = 7 см.
2. Стороне BC противолежит ∠A, стороне AC — ∠B, стороне AB — ∠C.
3. Значит, ∠A < ∠B < ∠C.

Ответ: ∠A, ∠B, ∠C — в порядке возрастания. Самый большой угол C лежит напротив самой длинной стороны AB.

Задача 2. Может ли существовать треугольник со сторонами 3 см, 5 см и 9 см? Для ответа не нужно проверять все перестановки сторон. Достаточно выбрать наибольшую сторону и сравнить её с суммой двух меньших.

1. Наибольшая сторона равна 9 см.
2. Сумма двух других сторон: 3 + 5 = 8 см.
3. Получаем 9 > 8, а должно быть 9 < 3 + 5.

Ответ: такой треугольник существовать не может. Два меньших отрезка вместе короче наибольшего, поэтому их концы не смогут соединиться.

Задача 3. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AB = AC, а угол B на 20° больше угла A. Найдите углы треугольника. Равные стороны AB и AC лежат напротив углов C и B, значит, ∠B = ∠C.

1. Обозначим ∠A = x°. Тогда ∠B = ∠C = x + 20°.
2. Используем сумму углов: x + (x + 20°) + (x + 20°) = 180°.
3. Получаем 3x + 40° = 180°, откуда x = 140° : 3° = 46⅔°. Тогда ∠B = ∠C = 66⅔°.

Ответ: ∠A = 46⅔°, ∠B = ∠C = 66⅔°. Условие согласуется с тем, что оснóвные углы равнобедренного треугольника равны.

Типичные ошибки

Сопоставление с прилежащим углом. Ученик может выбрать угол, который имеет общую сторону с данным отрезком. Но нужен угол напротив стороны: для AB это ∠C. Проверьте соответствие по вершине, не имеющей общей точки со стороной.

Большая сторона прилежит к большему углу. Такое рассуждение путает соседство и противолежание. Правильный вывод: большая сторона лежит напротив большего угла. Проведите мысленно линию от стороны к противоположной вершине.

Проверка неравенства с неправильной стороной. Иногда сравнивают сумму двух отрезков не с наибольшим или проверяют только случайные пары. Выберите наибольший отрезок и сравните его с суммой двух меньших: этого достаточно.

Неверный вывод о равных сторонах. Равенство двух углов означает равенство сторон, противолежащих этим углам, а не обязательно прилежащих. Для самопроверки выпишите пары: AB — ∠C, BC — ∠A, AC — ∠B.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны виды углов, обозначения сторон и углов, сумма углов треугольника и признаки равенства треугольников. Соотношения помогают доказывать свойства равнобедренного треугольника, решать задачи на построение и проверять существование треугольника. Позже они понадобятся при изучении прямоугольного треугольника, неравенств и тригонометрии.

Что запомнить

• Большей стороне треугольника противолежит больший угол.
• Большему углу треугольника противолежит большая сторона.
• Равным сторонам соответствуют равные противолежащие углы.
• Равным углам соответствуют равные противолежащие стороны.
• Самая большая сторона лежит напротив самого большого угла.
• Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.