"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Неравенство треугольника связывает длины его сторон: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Это правило объясняет, когда из трёх отрезков можно составить треугольник, и помогает заранее проверить возможность построения. Если известны две стороны, по неравенству можно найти пределы длины третьей. Главное — помнить, что сравнение строгое: равенство сторон не подходит.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неравенство треугольника — утверждение, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей. Если стороны обозначены a, b и c, то верны условия a < b + c, b < a + c и c < a + b. Это правило помогает проверять свойства уже данного треугольника и решать, можно ли построить треугольник из заданных отрезков.
Условие существования треугольника означает, что три положительных числа могут быть длинами его сторон только тогда, когда каждое меньше суммы двух других. Недостаточно, чтобы числа были положительными: например, очень длинную сторону не удастся соединить с двумя слишком короткими так, чтобы они встретились. Условие позволяет проверить построение ещё до того, как мы возьмём линейку и циркуль.
Длина ломаной — сумма длин всех её звеньев. Например, ломаная из двух звеньев имеет длину, равную сумме длин этих двух отрезков. Сравнение ломаной с прямым отрезком нужно для объяснения неравенства: путь по двум сторонам между вершинами длиннее отрезка, который соединяет их напрямую.
Представим треугольник ABC и сравним стороны AB и AC с отрезком BC. Чтобы попасть из B в C по сторонам треугольника, нужно пройти путь B—A—C, длина которого равна AB + AC. Прямой отрезок BC короче этой ломаной: если бы путь через A был не длиннее, точки лежали бы на одной прямой. Поэтому AB + AC > BC.
Для наглядного доказательства продолжим сторону BA за точку A и отложим на продолжении отрезок AD, равный AC. Тогда BD = BA + AC, ведь отрезки BA и AD лежат на одной прямой и соединяются концами. В треугольнике ACD стороны AC и AD равны, поэтому равны и углы при основании CD. Угол BCD больше угла ACD, так как он включает его и ещё часть угла; значит, в треугольнике BCD сторона BD, лежащая напротив большего угла, больше стороны BC. Получаем BA + AC = BD > BC.
В доказательстве мы выбрали сторону BC, а две другие сложили. Чтобы получить условие для стороны AB, можно так же рассмотреть путь между A и B через C: AC + CB > AB. Для стороны AC рассуждаем аналогично: AB + BC > AC. Так одно правило о более коротком прямом пути даёт все три неравенства, причём каждое из них относится к своей стороне.
При проверке трёх чисел не обязательно каждый раз записывать все сравнения. Выберем наибольшее число: если оно меньше суммы двух остальных, то эти два числа тем более меньше сумм, содержащих наибольшее число и ещё одно положительное слагаемое. Поэтому достаточно проверить наибольшую сторону. Если она не меньше суммы двух других, построить невырожденный треугольник нельзя.
Когда две стороны уже известны, третья должна быть не только меньше их суммы, но и больше их разности по модулю. Пусть стороны равны a и b, третья — x. Из x < a + b получаем верхнюю границу, а из a < b + x и b < a + x следует, что x больше и a − b, и b − a. Вместе это записывается как |a − b| < x < a + b: третья сторона должна быть достаточно длинной, чтобы соединить концы двух данных сторон, но не настолько длинной, чтобы они не встретились.
| Сравниваемая сторона | Неравенство | Смысл условия |
|---|---|---|
| a | a < b + c | Сторона a меньше суммы двух других сторон |
| b | b < a + c | Сторона b меньше суммы двух других сторон |
| c | c < a + b | Сторона c меньше суммы двух других сторон |
| Наибольшая сторона | amax < сумма двух остальных сторон | Достаточная проверка существования треугольника |
В первых трёх строках по очереди проверяется каждая сторона. Если нужно выяснить, существует ли треугольник с заданными длинами, найдите наибольшую и сравните её с суммой двух других. Для поиска неизвестной стороны используйте все неравенства, в которых она участвует: так получится и нижняя, и верхняя граница.
Нужно проверить, выполняется ли условие существования треугольника. Удобнее выбрать наибольшее число — 9 — и сравнить его с суммой двух остальных. Если наибольшая сторона меньше этой суммы, два других неравенства тоже будут выполнены.
Ответ: да, числа 5, 7 и 9 могут быть длинами сторон треугольника.
Неизвестная сторона должна быть меньше суммы известных сторон и больше модуля их разности. Нижнюю границу нельзя пропускать: слишком короткий отрезок не сможет соединить концы длинной и короткой сторон. Подставим значения 4 и 10 в двойное неравенство.
Ответ: третья сторона может иметь любую длину больше 6 и меньше 14.
Здесь неизвестное число входит в две стороны, поэтому проверим все три неравенства. Кроме того, длина x должна быть положительной. Строгие знаки важны: целые значения на границах не подойдут.
Ответ: x может быть любым целым числом, большим 4: 5, 6, 7 и так далее.
Иногда строгий знак > заменяют на ≥, потому что считают, что равенство тоже подходит. Но если сумма двух сторон равна третьей, все три точки оказываются на одной прямой, а треугольник вырождается. Проверяя ответ, посмотрите, не включены ли в него граничные значения: они не допускаются.
Ещё одна ошибка — проверить только одно неравенство, не убедившись, что сравнивается наибольшая сторона. Если проверена не самая длинная сторона, другое условие может нарушаться. Сначала упорядочьте числа или запишите все три неравенства, а затем сверьте вывод.
Можно сложить не те стороны и сравнить сумму с неподходящей стороной. У каждой стороны есть своё условие: она должна быть меньше суммы двух оставшихся, а не просто меньше какой-либо суммы. Для самопроверки обозначьте стороны буквами и проверьте по очереди a < b + c, b < a + c, c < a + b.
При поиске третьей стороны часто записывают только верхнюю границу x < a + b. Тогда в ответ попадают слишком короткие отрезки, которые не могут соединить концы известных сторон. Выведите также нижнюю границу из условий a < b + x и b < a + x: получится x > |a − b|.
Для этой темы нужны понятия треугольника, его вершин и сторон, а также умение сравнивать отрезки и складывать их длины. Неравенство треугольника пригодится при построении фигуры по трём сторонам: сначала можно проверить, получится ли треугольник. Позже это правило поможет оценивать длины отрезков, доказывать свойства треугольников и решать геометрические неравенства.
Почему в неравенстве треугольника знак именно «больше», а не «больше или равно»?
Между двумя вершинами прямой отрезок короче пути, который проходит по двум сторонам треугольника. При равенстве стороны легли бы на одну прямую, и фигура стала бы вырожденной, а не треугольником.
Нужно ли проверять все три неравенства, если одна сторона уже известна как наибольшая?
Нет, достаточно проверить, что наибольшая сторона меньше суммы двух остальных. Два других неравенства тогда выполняются автоматически, потому что каждая из оставшихся сторон меньше наибольшей, а значит, меньше суммы наибольшей стороны и ещё одной положительной стороны.
Как быстро найти возможную длину третьей стороны?
Если известные стороны равны a и b, а неизвестная — x, используйте двойное неравенство |a − b| < x < a + b. Вычислите разность и сумму известных сторон и возьмите только значения строго между ними.
Могут ли стороны треугольника иметь нецелые длины?
Да, длины сторон могут быть любыми положительными числами, в том числе дробными и иррациональными. Нужно лишь, чтобы для каждой стороны выполнялось неравенство треугольника.
Что происходит с треугольником, если сумма двух сторон равна третьей?
Точки оказываются на одной прямой: две стороны складываются в отрезок, равный третьей. Такая фигура называется вырожденной и не считается треугольником.
25. Неравенство треугольника.
