"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
В треугольнике длины сторон связаны с величинами углов, лежащих напротив них: большей стороне соответствует больший угол, а большему углу — большая сторона. Эти соотношения помогают сравнивать элементы треугольника, не измеряя их на чертеже. Ещё одно важное правило — неравенство треугольника: любая его сторона короче суммы двух остальных. С его помощью можно проверить, получится ли треугольник из трёх заданных отрезков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Противолежащая сторона — сторона треугольника, не имеющая общей вершины с выбранным углом. Чтобы найти её на чертеже, посмотри на вершину угла: противоположная сторона не касается этой вершины. Например, в треугольнике ABC углу A противолежит сторона BC. Это определение помогает не перепутать нужную сторону с одной из двух прилежащих к углу.
Противолежащий угол — угол треугольника, лежащий напротив выбранной стороны. Чтобы найти его, отметь два конца стороны и найди третью вершину: угол при ней и будет противолежащим. Например, стороне AB соответствует угол C. Так для каждой стороны и каждого угла можно установить правильную пару для сравнения.
Неравенство треугольника — утверждение, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Если длины сторон обозначены a, b и c, то должны выполняться условия a < b + c, b < a + c и c < a + b. Это правило нужно, чтобы проверять, могут ли три заданных отрезка образовать треугольник.
Большая сторона и больший угол — парные понятия: напротив большей стороны находится больший угол, а напротив большего угла — большая сторона. Сравнивать можно только элементы одного треугольника и только те, которые лежат друг напротив друга. Эта связь позволяет делать вывод о величине угла по сторонам и о величине стороны по углам.
Сопоставление сторон и углов строится по их положению друг напротив друга. Например, в треугольнике ABC стороне AB соответствует угол C, стороне AC — угол B, а стороне BC — угол A. Прилежащие к стороне углы находятся у её концов, поэтому они не образуют нужную пару. Перед сравнением полезно мысленно провести линию от стороны к вершине напротив неё.
Почему против большей стороны лежит больший угол? Обозначим большую сторону AC, а меньшую — AB, и сравним углы B и C. Отложим на AC отрезок AD, равный AB; точка D находится между A и C. Треугольник ABD равнобедренный, потому что AB = AD, поэтому его углы при B и D равны. Угол ADB — внешний угол треугольника BDC, а внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним; значит, угол ADB больше угла BCD. Так как угол ADB равен углу ABC, получаем, что угол B больше угла C. В треугольнике меньшей стороне AB как раз противолежит меньший угол C.
Верно и обратное утверждение: если один угол больше другого, то против него лежит большая сторона. Это не отдельное случайное правило, а обратная часть связи между порядком сторон и углов: меньшей стороне соответствует меньший угол, поэтому больший угол не может лежать напротив меньшей стороны. Иначе прямое утверждение о большей стороне привело бы к противоположному сравнению углов. Следовательно, сравнение углов позволяет установить порядок соответствующих сторон.
Неравенство треугольника объясняется кратчайшим расстоянием между двумя точками: им является отрезок, соединяющий эти точки. Если идти от одного конца стороны к другому по двум оставшимся сторонам треугольника, получится ломаный путь. Он длиннее прямого отрезка, поэтому сумма двух сторон больше третьей. Равенство невозможно для настоящего треугольника: тогда путь по двум сторонам не был бы длиннее прямой стороны.
Чтобы упорядочить стороны, найди противолежащие им углы; чтобы упорядочить углы, сравни лежащие напротив них стороны. Например, если AB > AC, то угол C больше угла B, потому что именно эти углы противолежат указанным сторонам. Для проверки трёх предполагаемых длин выбери наибольшую и сравни её с суммой двух меньших. Если наибольшая меньше этой суммы, остальные неравенства автоматически выполняются: сумма наибольшей и любой другой стороны больше оставшейся, меньшей стороны.
| Что сравниваем | Какое соотношение следует | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Две стороны и противолежащие им углы | Большей стороне соответствует больший угол. | Сначала установи, какие углы лежат напротив сторон. |
| Два угла и противолежащие им стороны | Большему углу соответствует большая сторона. | Сравнивай стороны, лежащие напротив данных углов. |
| Три длины, претендующие на стороны треугольника | Каждая длина должна быть меньше суммы двух других. | Достаточно проверить условие для наибольшей длины. |
В таблице сначала найди строку с теми величинами, которые известны в задаче. Затем проверь, что элементы действительно противолежат друг другу, и используй указанное соотношение. Для трёх длин сравнивай наибольшую с суммой двух остальных.
Задача 1. В треугольнике ABC известно, что AB > AC. Сравните углы C и B. Нужно связать каждую из данных сторон с углом напротив неё, а не с углом у её конца.
Ответ: угол C больше угла B. Проверка по чертежу должна подтвердить только расположение пар; измерять углы для доказательства не требуется.
Задача 2. В треугольнике один угол равен 70°, другой — 50°. Сравните противолежащие стороны и найдите третий угол. Вначале сравним известные углы, чтобы определить порядок сторон, а затем используем сумму углов треугольника, равную 180°.
Ответ: стороны напротив углов 70°, 60° и 50° расположены по убыванию именно в таком порядке; третий угол равен 60°.
Задача 3. Могут ли отрезки длиной 4 см, 7 см и 12 см быть сторонами треугольника? Проверим условие для самой длинной стороны: если оно нарушено, никакая перестановка отрезков не поможет.
Ответ: нет, такие отрезки не образуют треугольник. Проверять другие стороны отдельно необязательно, поскольку условие для наибольшей уже нарушено.
Ошибка: сравнивать сторону с прилежащим углом, а не с противолежащим. Это происходит, когда выбирают угол по близости к стороне или смотрят только на вершины рядом с её концами. Для проверки назови вершину, не принадлежащую стороне: угол при ней и образует нужную пару.
Ошибка: считать, что большей стороне соответствует меньший угол. Направление соотношения иногда путают с другими известными правилами сравнения. Вспомни формулировку: против большей стороны лежит больший угол, и проверь соответствие на конкретных вершинах треугольника.
Ошибка: проверить для трёх длин только одну произвольно выбранную сумму. Одно удачное сравнение ещё не гарантирует, что остальные стороны короче сумм двух других. Упорядочь длины и проверь наибольшую; именно условие для неё является самым строгим и одновременно достаточным.
Ошибка: считать допустимым равенство одной стороны сумме двух остальных. Равенство кажется похожим на требуемое условие, но правило требует строгого «меньше». При равенстве три точки лежат на одной прямой и замкнутой фигуры с тремя углами не возникает. Для самопроверки сравни сумму с наибольшей длиной и убедись, что сумма именно больше.
Для этой темы нужны обозначения треугольника и умение находить его вершины, стороны и углы. Также пригодятся сравнение отрезков и углов, а для нахождения неизвестного угла — правило о сумме углов треугольника, равной 180°. Если эти понятия знакомы, достаточно внимательно сопоставить элементы, лежащие друг напротив друга.
Теоремы помогают доказывать свойства треугольников и сравнивать элементы геометрических фигур. Неравенство треугольника позволяет заранее проверить, возможно ли построение по трём заданным длинам. Такие рассуждения учат отличать реальный чертёж от фигуры, которая лишь кажется возможной.
Как быстро определить, какой угол противолежит данной стороне?
Найди концы стороны и вершину, которая не входит в эту пару. Угол при этой третьей вершине и есть противолежащий стороне.
Можно ли по двум сторонам понять, какой угол треугольника больше?
Да, если сравнивать стороны одного треугольника. Против большей стороны лежит больший угол, поэтому сначала найди угол, расположенный напротив каждой стороны.
Верно ли обратное утверждение: большему углу всегда противолежит большая сторона?
Да. Если один угол треугольника больше другого, то и сторона, лежащая напротив него, больше стороны напротив меньшего угла.
Нужно ли проверять неравенство треугольника для всех трёх сторон?
Можно проверить все три неравенства, но достаточно проверить самое строгое: наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух остальных. Если оно выполнено, то два других неравенства тоже верны.
Почему равенство стороны сумме двух других не образует треугольник?
Чтобы соединить концы наибольшей стороны двумя другими отрезками, их общая длина должна быть больше прямого отрезка между концами. При равенстве точки оказываются на одной прямой, поэтому настоящего треугольника не получается.
26. Теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
