27. Сумма углов треугольника.

Определения и обозначения

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих эти точки. Точки называют вершинами, а отрезки — сторонами. Такое определение помогает отличить треугольник от трёх точек или незамкнутой фигуры.

Внутренние углы треугольника — три угла внутри фигуры, расположенные при её вершинах. Каждый угол образован двумя сторонами, которые сходятся в этой вершине. Чтобы не перепутать углы, их часто обозначают греческими буквами α, β и γ.

Сумма углов треугольника — результат сложения величин всех трёх его внутренних углов. Для любого треугольника α + β + γ = 180°. Это соотношение позволяет найти угол, если известны два других, или проверить, подходят ли данные величины для одного треугольника.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с внутренним углом при одной вершине. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. Внешний угол связан с двумя внутренними углами при остальных вершинах, и это помогает находить его величину.

Как это устроено

Чтобы доказать теорему о сумме углов, через одну из вершин треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Например, через вершину A проводят прямую, параллельную стороне BC. Стороны AB и AC пересекают эту прямую, поэтому возникают пары накрест лежащих углов — углов по разные стороны секущей между параллельными прямыми. Такие углы равны, и они соответствуют двум углам треугольника при B и C.

Теперь рассмотрим углы около точки A на проведённой прямой. Два угла, равные углам при B и C, расположены рядом с углом A и вместе образуют развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен 180°, потому что его стороны направлены по одной прямой в противоположные стороны. Значит, величины трёх внутренних углов треугольника в сумме дают 180°.

Теорема превращает поиск угла в простое вычисление: из 180° нужно вычесть сумму двух известных углов. Например, если известны α и β, то γ = 180° − (α + β). При проверке набора углов сложи все три величины: сумма должна быть ровно 180°, иначе такой треугольник построить нельзя. Кроме того, каждый угол должен быть больше 0°.

Чтобы получить свойство внешнего угла, обозначим внутренний угол при той же вершине через γ. Внешний угол смежен с ним, поэтому их сумма равна 180°. В то же время α + β + γ = 180°; из этих двух равенств следует, что внешний угол равен α + β. Именно поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, а не углу при соседней вершине.

Вид треугольника определяют по его углам. Если все углы меньше 90°, треугольник остроугольный; если один угол равен 90° — прямоугольный; если один угол больше 90° — тупоугольный. Два прямых угла уже дали бы сумму 180°, а третий должен быть больше нуля; два тупых угла в сумме превысили бы 180°. Поэтому ни двух прямых, ни двух тупых углов в треугольнике быть не может.

Соотношения между углами треугольника

Сначала определи, какие именно углы даны: внутренние, внешний или смежный с ним внутренний. Затем выбери подходящую строку таблицы и подставь известные величины. После вычислений проверь, согласуется ли результат с суммой углов треугольника.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Нужно найти третий угол. Поскольку известны именно два внутренних угла, применяем теорему об их сумме. Сначала складываем известные величины, затем вычитаем их из 180°.

1. Складываем известные углы: 48° + 67° = 115°.
2. Вычитаем полученную сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Проверяем: 48° + 67° + 65° = 180°.

Ответ: третий угол равен 65°. Проверка показывает, что найденный угол подходит к двум данным и сумма действительно равна 180°.

Задача 2

Внешний угол равен 125°, а один из двух внутренних углов, не смежных с ним, равен 52°. Требуется найти второй такой угол. Внешний угол равен сумме этих двух внутренних углов. Значит, неизвестная величина — это 125° минус 52°.

1. Обозначим неизвестный несмежный внутренний угол через x.
2. Запишем соотношение: 125° = 52° + x.
3. Вычтем 52°: x = 125° − 52° = 73°.

Ответ: второй несмежный внутренний угол равен 73°. Проверка: 52° + 73° = 125°, что совпадает с величиной внешнего угла.

Задача 3

В треугольнике ABC проведена биссектриса угла A; угол B равен 54°, а угол между биссектрисой и стороной AC — 38°. Биссектриса — луч, который делит угол на две равные части. Поэтому 38° составляет половину угла A, а оставшиеся два угла треугольника можно найти по теореме о сумме углов.

1. Находим весь угол A: 38° · 2 = 76°.
2. Записываем сумму углов треугольника: 76° + 54° + C = 180°.
3. Вычитаем известные углы: C = 180° − (76° + 54°) = 50°.
4. Проверяем: 76° + 54° + 50° = 180°.

Ответ: ∠A = 76°, ∠B = 54°, ∠C = 50°. Угол 38° не является целым углом A: это только одна из двух равных частей, на которые его делит биссектриса.

Типичные ошибки

Ошибка: сложить только два известных угла и приравнять их сумму к 180°. Так делают, забыв, что теорема относится ко всем трём внутренним углам. Проверь себя: в записи должны быть три слагаемых, например α + β + γ = 180°.

Ошибка: при поиске неизвестного угла вычесть из 180° только один из известных углов. Обычно это происходит, когда решение начинают сразу, не выделив сумму известных величин. Сначала сложи оба известных угла в скобках, а затем вычти результат из 180°.

Ошибка: принять внешний угол за внутренний угол при соседней вершине. Внешний угол смежен с внутренним при той же вершине, но равен сумме двух других внутренних углов. Чтобы проверить себя, отметь, какой угол смежный, и не включай его в пару несмежных.

Ошибка: считать, что у треугольника могут быть два прямых или два тупых угла. Два прямых уже дают 180°, а два тупых — больше 180°, поэтому на третий положительный угол места не остаётся. Сложи предполагаемые углы: их сумма не может достигать или превышать 180° до учёта третьего угла.

Связь с другими темами

Для доказательства теоремы нужны свойства углов: развёрнутый угол равен 180°, а сумма смежных углов тоже составляет 180°. Ещё понадобятся параллельные прямые: накрест лежащие углы при них равны. Поэтому перед решением задач полезно уметь находить такие углы на чертеже.

Сумма углов треугольника пригодится при изучении многоугольников и доказательстве свойств треугольников. Если в задаче появляется несколько фигур, их углы часто связывают через общий треугольник. Так одна теорема помогает находить неизвестные величины в более сложных построениях.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Если известны два угла треугольника, третий равен 180° минус их сумма.
• Внешний угол смежен с внутренним углом при той же вершине.
• Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов.
• В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов.
• Треугольник с прямым углом называется прямоугольным, с тупым — тупоугольным, а с тремя острыми — остроугольным.