9. Орезки и углы связанные с окружностью.

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Её обозначают двумя заглавными буквами по концам, например AB. Хорда не обязана проходить через центр, в отличие от радиуса, который соединяет центр с точкой окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Если O — центр, а A и B — концы диаметра, то AB = 2R, где R — радиус. Диаметр удобно использовать, когда нужно найти наибольшую хорду или определить длину окружности через радиус.

Центральный угол — угол, вершина которого находится в центре окружности. Например, угол AOB стягивает дугу AB, концы которой лежат на сторонах угла. Его величина связана с величиной этой дуги, поэтому центральный угол помогает описывать часть окружности.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность ещё в двух точках. Угол ABC опирается на дугу AC, не содержащую вершину B. Это определение позволяет связать угол с дугой и сравнивать его с центральным углом, опирающимся на ту же дугу.

Как это устроено

Проведём из центра O перпендикуляр OM к хорде AB. Радиусы OA и OB равны, поэтому треугольник AOB равнобедренный, а OM проведён к его основанию. Треугольники OMA и OMB прямоугольные: у них равны гипотенузы OA и OB, а катет OM общий. Значит, эти треугольники равны, и AM = MB. Если известна одна часть хорды, всю хорду находят удвоением этой части.

У равных хорд одной окружности одинаковы расстояния до центра, и верно обратное: хорды, равноудалённые от центра, равны. Причина в том, что перпендикуляры от центра делят хорды пополам, а радиусы с этими перпендикулярами образуют прямоугольные треугольники. При одинаковом радиусе и одинаковом расстоянии до хорды половины хорд равны по теореме Пифагора. Поэтому можно перейти от равенства хорд к равенству расстояний или сделать обратный вывод.

Пусть центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу AB. Соединим центр с вершиной C: радиусы OC и OA равны, как и OC и OB, поэтому возникают равнобедренные треугольники. Сложив углы при их основаниях и учитывая, что углы вокруг точки O дают 360°, получаем, что угол AOB вдвое больше угла ACB. Значит, вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.

Диаметр делит окружность на полуокружности, поэтому соответствующий ему центральный угол равен 180°. Вписанный угол, опирающийся на ту же полуокружность, составляет половину от 180°, то есть 90°. Поэтому любой угол, вершина которого находится на окружности, а стороны проходят через концы диаметра, является прямым. Это свойство помогает распознать прямоугольный треугольник на чертеже.

В задаче сначала отмечают центр, радиусы, хорды и вершины углов, затем ищут перпендикуляр или общую дугу. Для хорды используют её деление пополам и теорему Пифагора, а для углов — соотношение центрального и вписанного углов. Если известны углы треугольника, проверяют, что их сумма равна 180°. Такой порядок помогает понять, какое свойство подходит к данным, а не угадывать ответ по рисунку.

Хорды и углы, связанные с окружностью

Сначала найдите в чертеже нужный объект и сопоставьте его с первой колонкой. Затем выберите свойство из второй колонки и используйте способ из третьей для вычисления или доказательства. Для углов обязательно проверьте, что они опираются на одну и ту же дугу.

Разбор задач

Задача 1. В окружности радиуса 5 см перпендикуляр из центра к хорде равен 3 см. Найдите длину хорды. Нужно понять, что перпендикуляр делит хорду пополам, а радиус, перпендикуляр и половина хорды образуют прямоугольный треугольник. Обозначим половину хорды через x и применим теорему Пифагора.

1. Радиус — гипотенуза, а два катета равны 3 см и x. Поэтому x² + 3² = 5².
2. Получаем x² = 25 − 9 = 16, значит, x = 4 см. Отрицательная длина не подходит.
3. Хорда состоит из двух равных частей, поэтому её длина равна 2 · 4 = 8 см.

Ответ: 8 см. Проверка: треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный, значит, вычисления согласуются с данными.

Задача 2. Центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, вписанный угол равен 38°. Найдите центральный угол. Не нужно складывать эти углы: центральный угол вдвое больше вписанного, потому что вершина первого расположена в центре. Подставим известную величину в это соотношение.

1. Обозначим центральный угол через α. Тогда α = 2 · 38°.
2. Вычисляем: α = 76°.
3. Проверяем, что углы действительно опираются на одну дугу, как сказано в условии.

Ответ: 76°. Если бы требовался вписанный угол, следовало бы, наоборот, разделить центральный угол на 2.

Задача 3. В окружности проведён диаметр AB и хорда AC. Известно, что угол BAC равен 27°. Найдите угол ACB и объясните почему. Точки A, B и C образуют треугольник, а угол ACB опирается на диаметр AB. Поэтому сначала можно сразу определить этот угол, а затем проверить результат по сумме углов треугольника.

1. Так как AB — диаметр, угол ACB, опирающийся на него, равен 90°.
2. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Следовательно, угол ABC = 180° − 90° − 27° = 63°.
3. Условие называет угол ACB, а не ABC, поэтому искомый угол уже найден на первом шаге.

Ответ: угол ACB равен 90°. Дополнительный угол ABC равен 63° и подтверждает, что сумма углов треугольника составляет 180°.

Типичные ошибки

• Путают хорду с диаметром и считают эти слова взаимозаменяемыми. Это происходит потому, что оба отрезка соединяют точки окружности, но диаметр обязательно проходит через центр. Проверьте, отмечен ли на отрезке центр: если нет, называть его диаметром нельзя.

• Принимают перпендикуляр из центра за длину хорды. Перпендикуляр идёт от центра к хорде и обычно лишь пересекает её, а не совпадает с ней. Помните, что он делит хорду пополам; значит, длину всей хорды получают удвоением половины.

• Для вписанного угла выбирают не ту дугу. Так бывает, когда смотрят только на обозначения концов и не учитывают, где расположена вершина угла. Продлите мысленно стороны до точек пересечения с окружностью и выберите дугу между ними, не содержащую вершину.

• Меняют местами центральный и вписанный углы: вписанный ошибочно делают вдвое больше центрального. Путаница возникает из-за того, что оба угла связаны с одной дугой. Запишите отношение в нужном порядке: центральный = 2 · вписанный; затем проверьте, какой из двух углов должен быть больше.

Связь с другими темами

Для работы с хордами нужно знать, что такое радиус и окружность, уметь находить перпендикулярные отрезки и использовать свойства равнобедренного треугольника. В задачах на длину хорды часто помогает теорема Пифагора: радиус, расстояние от центра до хорды и половина хорды образуют прямоугольный треугольник. Освоенные свойства пригодятся при изучении касательных и многоугольников, а также при доказательстве геометрических утверждений. Они помогают замечать равные отрезки и углы даже на сложных чертежах.

Что запомнить

• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам.
• Равные хорды равноудалены от центра.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.