28. Определение окружности.

Определения и обозначения

Окружность — множество точек плоскости, равноудалённых от одной заданной точки. Иными словами, у каждой точки окружности расстояние до этой точки одно и то же. Такое определение позволяет описать окружность не как нарисованную линию, а через свойство всех её точек.

Центр окружности — заданная точка, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Обычно центр обозначают заглавной буквой, например O. Чтобы определить, принадлежит ли точка окружности, сравнивают расстояние до неё с расстоянием от центра до остальных точек.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности; радиусом также называют его длину. Если точка A лежит на окружности с центром O, то отрезок OA — радиус. Длина радиуса показывает, насколько далеко от центра расположена вся окружность.

Окружность с центром O и радиусом r записывают как окружность (O; r). Здесь O указывает, от какой точки отсчитывают расстояния, а r — каково это расстояние. Запись помогает точно задать окружность, даже если её не изображают на чертеже.

Как это устроено

Определение через множество точек означает, что окружность можно представить как все точки, для которых выполняется одно условие: расстояние до выбранного центра одинаково. Если расстояние обозначить буквой r, то каждая точка, находящаяся от центра ровно на r, принадлежит окружности. Точки на других расстояниях этому условию не удовлетворяют. Поэтому одного рисунка недостаточно для проверки: нужно учитывать расстояния.

Центр не принадлежит окружности, если радиус положителен, потому что расстояние от любой точки до самой себя равно нулю. А расстояние от центра до точки окружности должно быть равно радиусу. При положительном радиусе ноль и радиус — разные величины, поэтому центр не может быть точкой окружности. Он нужен, чтобы отсчитывать расстояния, но сам находится не на линии окружности.

Все радиусы одной окружности равны, поскольку каждый из них соединяет один и тот же центр с какой-либо точкой окружности. По определению каждая такая точка находится от центра на одинаковом расстоянии. Значит, сколько бы радиусов ни провели, длина каждого будет равна радиусу окружности. Если на чертеже отрезки выглядят неодинаковыми, возможно, рисунок выполнен неточно.

Центр и длина радиуса однозначно задают окружность: центр определяет точку отсчёта, а радиус задаёт нужное расстояние. Для любой точки плоскости можно проверить, равно ли расстояние до центра заданному радиусу. Все точки, для которых равенство выполняется, составляют эту окружность, и других точек в неё не входит. Поэтому две окружности с одинаковыми центром и радиусом совпадают.

Окружность и круг — не одно и то же. У окружности расстояние от каждой её точки до центра равно радиусу, поэтому она является только границей. У точек внутри этой границы расстояние до центра меньше радиуса, но они всё равно входят в круг. Так круг состоит из окружности и внутренней области, а окружность — только из граничных точек.

Элементы окружности и их признаки

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, о каком элементе говорится: о множестве точек, точке отсчёта или расстоянии. Затем проверьте признак: у каждой точки окружности расстояние до центра должно быть одинаковым. Радиус можно рассматривать как отрезок на чертеже и как числовую длину этого отрезка.

Разбор задач

Точки A и B находятся на расстоянии 4 см от точки O. Нужно определить, принадлежат ли они окружности с центром O и радиусом 4 см. Для ответа не требуется строить чертёж: достаточно применить определение и сравнить заданные расстояния с радиусом. Отсчёт ведётся от одного и того же центра O.

1. Запишем данные: OA = 4 см и OB = 4 см.
2. Радиус окружности равен 4 см, значит, точка окружности должна находиться от O именно на этом расстоянии.
3. Оба расстояния равны радиусу, поэтому условие выполняется и для A, и для B.

Ответ: точки A и B принадлежат окружности с центром O и радиусом 4 см. Важно, что проверяется расстояние до центра, а не положение точки относительно других точек окружности. Если бы расстояние оказалось, например, 3 см, точка находилась бы внутри круга, но не на окружности.

Окружность имеет центр O и радиус 3 см. Точка C находится на расстоянии 2 см от O, а точка D — на расстоянии 3 см. Нужно выяснить, какая из этих точек лежит на окружности. Сравним каждое расстояние отдельно с радиусом: совпадение означает принадлежность, а несовпадение — нет.

1. Для точки C расстояние до центра равно 2 см, а радиус — 3 см.
2. Так как 2 см меньше 3 см, точка C не лежит на окружности и находится внутри неё.
3. Для точки D расстояние до центра равно 3 см, то есть совпадает с радиусом.

Ответ: на окружности лежит точка D, а точка C — внутри неё, но не на ней. Этот пример показывает, почему нельзя считать все точки внутри окружности её точками. Критерий принадлежности — точное равенство расстояния радиусу, а не просто близкое расположение к центру.

Две окружности имеют общий центр O, радиусы первой и второй равны 5 см и 3 см. Спрашивается, может ли точка, принадлежащая обеим окружностям, находиться на расстоянии 4 см от O. Проверим требования обеих окружностей, потому что принадлежность общей точке должна выполняться одновременно для каждой из них. Расстояние до общего центра у одной точки не может иметь разные значения.

1. Точка первой окружности должна находиться от O на расстоянии 5 см.
2. Точка второй окружности должна находиться от O на расстоянии 3 см.
3. Расстояние 4 см не равно ни 5 см, ни 3 см, поэтому оно не подходит ни для одной окружности.

Ответ: нет, такая точка не может принадлежать обеим окружностям и находиться на расстоянии 4 см от O. Более того, окружности с общим центром и разными радиусами не имеют общих точек: их точки находятся на разных расстояниях от центра. Проверка каждого условия по отдельности помогает избежать догадки только по рисунку.

Типичные ошибки

Окружностью иногда называют круг вместе с внутренними точками. Так происходит, потому что на бытовом языке словом «окружность» могут обозначать и границу, и всю круглую область. В геометрии это разные объекты: окружность состоит только из точек на заданном расстоянии от центра, а круг включает внутренние точки. Проверка: спросите, равно ли расстояние до центра радиусу у каждой рассматриваемой точки.

Другая ошибка — считать, что любая точка внутри окружности ей принадлежит. Внутренние точки действительно находятся в круге, но расстояние от них до центра меньше радиуса. Путаница возникает, когда не различают положение «внутри круга» и принадлежность границе. Чтобы проверить себя, сравните расстояние точки до центра с радиусом: равенство означает точку на окружности, а меньшее значение — точку внутри неё.

Иногда предполагают, что радиусы одной окружности могут иметь разную длину. На рисунке отрезки могут казаться неодинаковыми из-за неточности чертежа или масштаба, но по определению все точки окружности равноудалены от центра. Каждый радиус соединяет центр с одной из таких точек, поэтому длины радиусов равны. Проверяйте вывод по определению, а не только по внешнему виду схемы.

При проверке принадлежности расстояние до центра могут сравнить с диаметром вместо радиуса. Диаметр — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности; он вдвое длиннее радиуса. Ошибку допускают, смешивая отрезки, связанные с окружностью, но имеющие разное назначение. Проверьте, что сравниваете расстояние от центра до точки именно с радиусом, а не с диаметром.

Связь с другими темами

Для работы с окружностью нужно уметь измерять и сравнивать длины отрезков, а также находить расстояние между двумя точками. Эти навыки позволяют проверить, равна ли длина от центра до выбранной точки радиусу. Позже определение понадобится при изучении хорды — отрезка с концами на окружности, диаметра, дуги и центрального угла. Оно также используется в задачах на построение фигур и взаимное расположение точек и прямых.

Что запомнить

• Окружность — множество точек, равноудалённых от одной точки.
• Заданная точка называется центром окружности.
• Общее расстояние от центра до точек окружности называется радиусом.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Точка принадлежит окружности, если расстояние до её центра равно радиусу.
• Окружность не включает точки, расположенные внутри неё.