29. Взаимное расположение прямой и окружности.

Определения и обозначения

Секущая — прямая, имеющая с окружностью две общие точки. Например, если прямая проходит через окружность и пересекает её границу в точках A и B, то A и B — точки пересечения, а прямая AB — секущая. По двум общим точкам легко отличить её от прямой, которая только касается окружности. Это понятие понадобится, когда мы будем находить хорду — отрезок между точками A и B.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Она касается окружности, но не проходит через её внутреннюю область. Это определение помогает не путать касательную с секущей: у секущей две общие точки, а у касательной только одна. Если прямая не имеет общих точек с окружностью, касательной она тоже не является.

Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Если касательная касается окружности в точке T, то T называют точкой касания. Это не просто название точки: именно к ней проводят радиус, который обладает особым свойством — он перпендикулярен касательной. Обозначение точки помогает точно указывать, о каком радиусе идёт речь.

Расстояние от центра окружности до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из центра к этой прямой. Если центр обозначен O, а основание перпендикуляра — H, то расстояние равно OH. Нельзя заменять его расстоянием от центра до любой выбранной точки прямой: наклонный отрезок будет длиннее перпендикуляра. Именно OH сравнивают с радиусом, чтобы определить взаимное расположение прямой и окружности.

Как это устроено

Взаимное расположение прямой и окружности определяется сравнением расстояния d от центра до прямой с радиусом R. Радиус задаёт расстояние от центра до каждой точки окружности, а d показывает, насколько близко к центру проходит прямая. Если расстояние измерить не перпендикуляром, оно не будет кратчайшим и сравнение может привести к неверному выводу. Поэтому в рассуждении используют именно перпендикуляр, опущенный из центра.

Если d меньше R, ближайшая к центру точка прямой находится внутри окружности. Прямая проходит через её внутреннюю область, поэтому при движении по прямой сначала встречается одна часть окружности, а затем другая. Значит, у прямой две общие точки с окружностью, и она является секущей. Перпендикуляр от центра до прямой показывает, что до границы окружности ещё остаётся расстояние.

Если d равно R, основание перпендикуляра лежит на окружности: оно находится от центра ровно на длину радиуса. В этой ситуации прямая касается окружности только в одной точке. Если бы на прямой нашлась ещё одна точка окружности, перпендикуляр из центра до прямой оказался бы короче радиуса. Поэтому равенство d и R соответствует касательной, а не секущей.

Если d больше R, даже ближайшая к центру точка прямой находится дальше, чем любая точка окружности. Значит, прямая проходит вне круга и не встречает его границу. Общих точек у прямой и окружности нет. Этот случай удобно проверить по смыслу: если кратчайшее расстояние уже превышает радиус, остальные точки прямой тем более не могут попасть на окружность.

При касании радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Перпендикуляр — кратчайший отрезок от точки до прямой, поэтому центр ближе всего к касательной именно в точке касания. Если провести радиус к этой точке, получим отрезок длины R, который одновременно является расстоянием от центра до касательной. Это свойство используют и для проверки касания, и для вычислений: зная одно из расстояний, можно найти другое.

Взаимное расположение прямой и окружности

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найди расстояние d от центра до прямой — это длина перпендикуляра. Затем сравни d с радиусом R и выбери строку с подходящим условием. По этой строке сразу определяются число общих точек и вид прямой.

Разбор задач

Задача 1. Радиус окружности равен 5 см, а расстояние от её центра до прямой — 3 см. Определить взаимное расположение прямой и окружности. Здесь радиус уже известен, а расстояние от центра до прямой дано как кратчайшее расстояние. Не нужно искать расстояние до какой-либо другой точки прямой.

1. Обозначим радиус R = 5 см, а расстояние d = 3 см. Сравним эти величины: 3 см < 5 см. Значит, расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
2. По правилу при d < R прямая проходит через внутреннюю область окружности. Следовательно, она пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей.

Ответ: прямая является секущей и имеет с окружностью две общие точки. Вывод сделан сравнением d и R, поэтому строить окружность или искать сами точки пересечения не требуется. Если бы расстояние оказалось равно 5 см, прямую пришлось бы назвать касательной.

Задача 2. Радиус окружности равен 7 см. Прямая касается окружности. Найти расстояние от центра окружности до этой прямой. В условии уже сказано, что прямая касается окружности, поэтому расстояние сравнимо с радиусом. Нужно применить свойство перпендикуляра из центра к касательной.

1. Обозначим точку касания буквой T, а центр — O. Радиус OT проведён в точку касания, поэтому OT перпендикулярен касательной. Длина OT равна радиусу окружности, то есть 7 см.
2. Расстояние от точки O до прямой — длина перпендикуляра из O к этой прямой. Перпендикуляром как раз является OT, значит, искомое расстояние равно 7 см.

Ответ: 7 см. Здесь не нужно строить прямоугольный треугольник или выполнять дополнительные вычисления: равенство расстояния радиусу следует из свойства касательной. Если в решении получилась другая величина, проверь, тот ли радиус был проведён к точке касания.

Задача 3. Из центра окружности радиуса 10 см к прямой проведён перпендикуляр длиной 6 см. Найти длину хорды, которую прямая отсекает от окружности. Сначала проверим, что прямая действительно является секущей: 6 см меньше 10 см, значит, пересечений два. Хорда соединяет эти точки пересечения.

1. Обозначим центр O, основание перпендикуляра H, а одну из точек пересечения прямой с окружностью A. Треугольник OHA прямоугольный, потому что OH перпендикулярен прямой, на которой лежит HA. Гипотенуза OA — радиус окружности, поэтому OA = 10 см, а OH = 6 см.
2. По теореме Пифагора HA² = OA² − OH² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. Значит, HA = 8 см. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому вся хорда равна 2 · 8 = 16 см.

Ответ: длина хорды равна 16 см. Сначала найдено расстояние от основания перпендикуляра до одной точки пересечения, то есть половина хорды. Удвоить результат нужно именно потому, что перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её на равные части.

Типичные ошибки

Касательной иногда называют любую прямую, которая проходит рядом с окружностью. Так ошибаются, когда ориентируются на внешний вид рисунка, а не на число общих точек. Проверь, сколько точек прямой лежат на окружности: у касательной ровно одна, у секущей две, а при отсутствии точек прямая не является ни той, ни другой.

Ещё одна ошибка — сравнивать радиус с расстоянием от центра до случайной точки прямой. Такой отрезок может быть наклонным и не показывает, насколько близко прямая подходит к окружности. Чтобы проверить себя, найди из центра перпендикуляр к прямой и используй длину именно этого отрезка. Он будет короче любого наклонного отрезка, проведённого к прямой.

При d = R иногда считают прямую секущей и ожидают две общие точки. Это происходит, если забыть, что в равенстве основание перпендикуляра оказывается на самой окружности. Вспомни определения: ровно одна общая точка означает касательную. Поэтому при равенстве расстояния и радиуса в таблице выбирают строку d = R.

Свойство перпендикулярности могут применять к любому радиусу, хотя оно относится только к радиусу, проведённому в точку касания. Ошибка появляется, когда не отмечают, где именно прямая касается окружности. Проверь обозначения: конец радиуса должен совпадать с точкой касания, а прямой угол должен находиться в этой точке. Тогда можно использовать свойство касательной.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения окружности, радиуса и диаметра, а также умение находить расстояние от точки до прямой. В задачах с секущей используются хорда, перпендикуляр и прямоугольный треугольник. Длину части хорды можно найти по теореме Пифагора, если известны радиус и расстояние от центра до секущей. Позже эти знания пригодятся при изучении свойств касательной и задач с хордами и секущими.

Что запомнить

• Число общих точек прямой и окружности определяется сравнением d и R.
• При d < R прямая является секущей и имеет две общие точки.
• При d = R прямая является касательной и имеет одну общую точку.
• При d > R прямая не пересекает окружность.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу.