"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Касательная — прямая, которая касается окружности в одной точке. Она связана с радиусом особым образом: радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Это свойство помогает распознавать касательные, находить расстояние от центра до прямой и доказывать равенство отрезков. Разберём, как применять эти факты в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Она не проходит внутрь круга и не пересекает окружность второй раз. Это определение помогает отличить касательную от секущей — прямой, пересекающей окружность в двух точках.
Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Её обычно обозначают заглавной буквой, например M. По этой точке проводят радиус OM, чтобы применить свойство перпендикулярности или проверить, является ли данная прямая касательной.
Отрезок касательной — часть касательной от внешней точки до точки касания. Например, если из точки A проведена касательная AB, то AB — отрезок касательной, а B — точка касания. Это понятие нужно, когда требуется найти длину такого отрезка или сравнить его с другим.
Касательные из одной точки — две касательные, проведённые к окружности из одной внешней точки. Если они касаются окружности в точках B и C, их отрезки от внешней точки A обозначают AB и AC. Это обозначение удобно для применения правила AB = AC: равны именно отрезки, начинающиеся в одной внешней точке.
Пусть прямая касается окружности в точке M, а O — её центр. Перпендикуляр от O к прямой короче любого наклонного отрезка, проведённого от O к этой прямой. Если основание перпендикуляра оказалось бы не в M, расстояние от O до прямой было бы меньше OM, то есть меньше радиуса. Тогда прямая прошла бы внутри круга и пересекла окружность с двух сторон, а значит, не была бы касательной. Поэтому кратчайший отрезок от центра до касательной — радиус OM, и OM перпендикулярен касательной.
Обратно, пусть M лежит на окружности, а прямая через M перпендикулярна радиусу OM. Для любой другой точки прямой, например P, треугольник OMP прямоугольный, поэтому OP — гипотенуза и длиннее OM. Значит, OP больше радиуса, и P находится вне круга. Других точек окружности на прямой нет: она касается её только в M, то есть является касательной.
Чтобы проверить касание по расстоянию, опустите из центра O перпендикуляр на прямую и сравните его длину с радиусом r. Если расстояние равно r, прямая касается окружности; если оно меньше r, прямая проходит через круг и имеет две общие точки с окружностью. Если оно больше r, прямая лежит снаружи и общих точек нет. Так сравнение расстояний позволяет определить положение прямой без поиска точек пересечения.
Пусть из внешней точки A проведены касательные AB и AC, а O — центр окружности. Радиусы OB и OC перпендикулярны касательным, поэтому треугольники ABO и ACO прямоугольные. У них общая гипотенуза AO, а катеты OB и OC равны, потому что оба являются радиусами одной окружности. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету, а соответствующие отрезки AB и AC равны.
Перпендикулярность помогает доказывать равенство прямоугольных треугольников, даже если не удаётся сразу сравнить все стороны. Сначала найдите радиусы к точкам касания: они равны, поскольку принадлежат одной окружности. Затем отметьте прямые углы и общий отрезок, который станет гипотенузой обоих треугольников. После доказательства равенства треугольников можно заключить, что равны и нужные стороны, например отрезки касательных.
| Ситуация | Что дано | Что следует |
|---|---|---|
| Прямая касается окружности | Прямая имеет с окружностью одну общую точку | Общая точка называется точкой касания |
| Расстояние от центра до прямой | Оно равно радиусу окружности | Прямая является касательной |
| Радиус проведён в точку касания | Радиус и касательная образуют угол | Этот угол прямой |
| Прямая перпендикулярна радиусу | Точка перпендикулярности лежит на окружности | Прямая является касательной |
| Две касательные проведены из одной внешней точки | Обе касательные начинаются в этой точке | Их отрезки до точек касания равны |
В таблице можно двигаться от условия к выводу: проверьте, что именно дано, и примените соответствующее свойство или признак. В частности, для признака касательной обязательно убедитесь, что конец радиуса лежит на окружности. Для равенства отрезков проверьте, что обе касательные проведены из одной внешней точки.
Задача 1. Дана окружность с центром O и радиусом 5 см. Расстояние от O до прямой l равно 5 см. Определите, является ли l касательной. Сравним расстояние от центра до прямой с радиусом: по условию эти длины одинаковы. Такое сравнение позволяет применить признак касательной.
Ответ: да, прямая l является касательной.
Задача 2. Из точки A к окружности проведены касательные AB и AC. Найдите AC, если AB = 7 см. В условии названы две касательные, и обе проведены из точки A, поэтому можно использовать теорему о равенстве отрезков касательных из одной внешней точки. Не нужно знать ни радиус окружности, ни расстояние от A до её центра.
Ответ: AC = 7 см.
Задача 3. В окружности с центром O точка M лежит на окружности, а прямая l проходит через M. Докажите, что l — касательная, если OM перпендикулярен l, и найдите угол между радиусом и касательной. Здесь важно, что перпендикулярность задана именно в точке M, лежащей на окружности. Это позволяет применить обратное свойство радиуса и касательной.
Ответ: l — касательная; угол между радиусом и касательной равен 90°.
Ошибка — называть касательной любую прямую, проходящую через точку окружности. Такая прямая может пересечь окружность ещё раз, поэтому одного общего конца недостаточно. Ошибку допускают, потому что сосредоточиваются на точке прохождения и не проверяют остальные пересечения. Проверьте, есть ли у прямой только одна общая точка с окружностью.
Нельзя путать радиус и диаметр, проведённые в точку касания: с касательной перпендикулярен именно радиус. Диаметр содержит этот радиус, но сам по себе не обязательно перпендикулярен касательной, если рассматривается другая прямая или направление. Ошибка появляется из-за того, что оба отрезка проходят через центр. Для проверки выделите отрезок от центра до точки касания и сравнивайте с касательной именно его.
Не следует считать равными любые отрезки, лежащие на касательных. Теорема относится к отрезкам, проведённым из одной внешней точки до точек касания, а не к произвольным частям прямых. Это ограничение легко упустить, заметив на чертеже две касательные. Проверьте, совпадают ли начальные точки отрезков и являются ли их концы точками касания.
Признак касательной нельзя применять, если не проверено, что точка перпендикулярности лежит на окружности. Перпендикуляр к радиусу можно провести и через точку, которая на окружности не находится, но это не доказывает касание. Ошибку предупреждает проверка положения точки: она должна быть концом радиуса и принадлежать окружности. Только после этого перпендикулярность даёт нужный вывод.
Для изучения касательных нужно знать окружность и её радиус, а также понимать, что расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру. При доказательствах используются прямые углы и признаки равенства прямоугольных треугольников. В частности, равенство треугольников помогает объяснить, почему отрезки касательных из одной точки равны.
Свойства касательной пригодятся при изучении вписанных и описанных фигур: там окружность соприкасается со сторонами или их продолжениями. Они также встречаются в задачах на углы и геометрические построения циркулем и линейкой. Умение распознавать касательную помогает обосновать, где именно окружность касается прямой, и использовать радиусы в доказательстве.
Почему касательная имеет только одну общую точку с окружностью?
Касательная по определению имеет с окружностью ровно одну общую точку — точку касания. Если бы прямая пересекала окружность в двух точках, она была бы секущей, а не касательной.
Как доказать, что данная прямая является касательной?
Нужно показать, что прямая перпендикулярна радиусу, проведённому к точке окружности. Тогда по признаку касательной эта прямая касается окружности именно в этой точке.
Всегда ли радиус перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку окружности?
Нет. Перпендикулярен касательной только радиус, проведённый в точку касания. Другая прямая через ту же точку может пересечь окружность ещё раз.
Почему отрезки двух касательных из одной точки равны?
Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому образуются прямоугольные треугольники. У них общий гипотенузный отрезок от внешней точки до центра и равные радиусы, значит, треугольники равны, а отрезки касательных тоже равны.
Можно ли провести касательную к окружности из точки, лежащей внутри окружности?
Нет. Любая прямая через внутреннюю точку пересечёт окружность в двух точках, поэтому касательной не получится. Две касательные можно провести из точки вне окружности.
30. Касательная.
