31. Хорды и дуги.

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если концы хорды — точки A и B, её обозначают AB. Хорды нужны, чтобы сравнивать прямые отрезки внутри окружности и изучать их связь с дугами.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Поэтому каждый диаметр является хордой, но не всякая хорда является диаметром. Диаметр обозначают двумя буквами его концов и используют как ось симметрии окружности.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Дугу можно обозначить двумя буквами, например дугу AB, если понятно, какую именно часть имеют в виду; для точности используют три буквы, например дугу ACB. Две точки обычно задают малую и большую дуги.

Полуокружность — дуга, на которую диаметр делит окружность. Её градусная мера равна 180°. Полуокружность важна при сравнении дуг и при определении углов, связанных с диаметром.

Как это устроено

Две точки окружности делят её на два пути: короткий и длинный. Короткий путь называют малой дугой, а длинный — большой; их обозначают одинаковыми концами, но большую дугу часто записывают тремя буквами, чтобы не возникло путаницы. Если точки являются концами диаметра, оба пути равны и каждый имеет меру 180°, поэтому это полуокружности.

Диаметр — самая длинная хорда, потому что он проходит через центр и имеет длину 2R. Любая другая хорда располагается дальше от центра: если расстояние от центра до хорды равно d, то половина хорды вместе с радиусом образует прямоугольный треугольник, и её длина равна 2√(R² − d²). При d > 0 это значение меньше 2R.

Пусть из центра O к хорде AB проведён перпендикуляр OC. Соединим O с концами хорды: OA и OB — радиусы, значит, они равны, а OC — общая сторона двух прямоугольных треугольников. По гипотенузе и катету эти треугольники равны, поэтому AC = CB. Та же симметрия показывает, что дуги по разные стороны от перпендикуляра равны.

Равные хорды в одной окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Каждую хорду можно рассматривать как основание равнобедренного треугольника с боковыми сторонами-радиусами, поэтому равенство хорд приводит к равенству центральных углов. Центральные углы опираются на соответствующие дуги, значит, равные хорды определяют равные дуги, и наоборот.

Сравнивать хорды можно по дугам, на которые они опираются. Большей дуге соответствует больший центральный угол, а значит, и большая хорда, если сравниваются дуги одного типа: обе малые или обе большие. Нельзя напрямую сравнивать малую дугу одной пары с большой дугой другой пары без уточнения, какие части окружности выбраны.

Хорды, диаметры и дуги окружности

В таблице собраны основные определения и свойства. Сначала найдите нужный объект в первом столбце, затем проверьте его обозначение и свойство. Это помогает не путать прямой отрезок внутри окружности с частью самой окружности.

Разбор задач

Задача 1. На окружности отмечены точки A, B и C. Назвать все хорды и дуги, определённые этими точками, а также указать, какие из дуг являются малыми.

1. Хордами будут отрезки, концы которых лежат на окружности: AB, BC и AC.
2. Каждая пара точек определяет две дуги. Для пары A и B это малая дуга AB и большая дуга ACB; для пары B и C — малая дуга BC и большая дуга BAC.
3. Для пары A и C получаются малая дуга AC и большая дуга ABC. Малой называют ту дугу, которая проходит по короткому пути между концами; если точки расположены как на полуокружности, дуга с мерой 180° будет полуокружностью.

Ответ: хорды AB, BC, AC; для каждой пары точек есть малая и большая дуги. Обозначение тремя буквами помогает указать именно большую дугу.

Задача 2. В окружности с центром O перпендикуляр из O к хорде AB пересекает её в точке C. Длина AB равна 16 см. Найти AC и CB и объяснить, какие дуги равны.

1. Так как OC перпендикулярен AB и выходит из центра, он делит хорду пополам: AC = CB.
2. Пусть AC = CB = x. Тогда AB = AC + CB = 2x, поэтому 2x = 16 и x = 8.
3. Перпендикуляр OC является осью симметрии для хордовой конфигурации. Поэтому равны соответствующие дуги по обе стороны от OC: дуга AM равна дуге MB, если M — точка пересечения этой оси с окружностью; аналогично равны большие дуги, дополняющие их до полной окружности.

Ответ: AC = 8 см, CB = 8 см; соответствующие дуги, симметричные относительно диаметра через O, равны.

Задача 3. В одной окружности хорды AB и CD равны. Дуга AB имеет градусную меру 74°. Доказать равенство соответствующих дуг и найти градусную меру дуги CD.

1. Хорды AB и CD лежат в одной окружности и равны. По теореме о равных хордах и дугах им соответствуют равные дуги одного типа.
2. Следовательно, малая дуга AB равна малой дуге CD. Выбираем именно малые дуги, поскольку дана дуга AB с мерой 74°, то есть дуга меньше 180°.
3. Поэтому градусная мера малой дуги CD также равна 74°. Большие дуги, дополняющие их до 360°, тоже равны и имеют меру 360° − 74° = 286°.

Ответ: соответствующие малые дуги равны; ⌢CD = 74°.

Типичные ошибки

Отрезок AB называют дугой. Так происходит из-за одинаковых концов, но отрезок лежит внутри окружности, а дуга идёт по её линии. Проверка простая: если объект можно измерить как прямой отрезок, это хорда; если он является частью окружности, это дуга.

Считают равными любые две дуги с одинаковыми концами. На самом деле одни и те же точки задают малую и большую дуги, поэтому нужно уточнять, о какой части окружности идёт речь. Проверьте градусную меру: малая дуга меньше 180°, большая больше 180°.

Путают диаметр с радиусом. Радиус соединяет центр с одной точкой окружности, а диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр. Чтобы проверить себя, посчитайте концы отрезка и убедитесь, что центр лежит на нём.

Переносят свойство перпендикуляра с центра на любой перпендикуляр к хорде. Хорду пополам делит именно перпендикуляр, проведённый из центра окружности. В условии нужно найти точку O и проверить одновременно два факта: OC ⟂ AB и O — центр.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны определения окружности, центра, радиуса и диаметра, а также знания о перпендикулярных прямых и равенстве треугольников. Свойства хорд и дуг понадобятся при изучении центральных и вписанных углов, касательной к окружности и новых доказательств. Они также применяются в геометрических построениях и при вычислении элементов окружности.

Что запомнить

• Хорда соединяет две точки окружности.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Диаметр делит окружность на две равные полуокружности.
• Две точки окружности определяют малую и большую дуги.
• Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам.
• Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.