"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Касательная и хорда, выходящие из одной точки окружности, образуют два угла. Каждый из них связан с дугой, лежащей напротив него: угол равен половине градусной меры этой дуги. Это правило помогает находить углы и дуги, а также решать задачи с треугольниками, вписанными в окружность. Главное — определить, какой именно угол рассматривается, и выбрать соответствующую ему дугу.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания и обычно обозначают буквой A. Через A можно провести радиус к центру окружности; он будет перпендикулярен касательной, и это свойство понадобится при объяснении теоремы.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Если хорда AB проходит через точку касания A, то её концы A и B делят окружность на две дуги. Чтобы не перепутать их, при решении задачи отмечают, какая дуга находится напротив выбранного угла.
Угол между касательной и хордой — один из двух углов, образованных касательной в точке касания и хордой, проходящей через эту точку. Например, касательная в A и хорда AB образуют углы по разные стороны от хорды. Указание на конкретный угол важно: для двух углов будут выбраны разные дуги.
Дуга, стягиваемая хордой, — часть окружности между концами хорды; в задаче выбирают ту из двух дуг, которая расположена напротив рассматриваемого угла. Слово «стягиваемая» означает, что концы дуги совпадают с концами хорды. Выбор нужной дуги позволяет правильно применить формулу для угла.
Пусть касательная касается окружности в точке A, а AB — хорда. Проведём радиусы OA и OB из центра O к концам хорды. Радиус OA перпендикулярен касательной, поскольку радиус, проведённый в точку касания, образует с касательной прямой угол. Радиусы OA и OB равны, поэтому треугольник OAB равнобедренный, а его углы при основании AB равны. Так угол между касательной и хордой можно связать с углами этого треугольника.
Из равенства углов при основании и суммы углов треугольника следует, что угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на хорду AB. Вписанный угол — это угол с вершиной на окружности, стороны которого проходят через концы хорды; для сравнения можно взять точку C на соответствующей дуге и угол ACB. Он опирается на ту же хорду, поэтому его величина совпадает с углом между касательной и хордой. Именно это утверждение называют теоремой об угле между касательной и хордой.
Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине её градусной меры. Поэтому угол между касательной и хордой тоже равен половине меры дуги AB, лежащей напротив этого угла. Если угол равен 40°, соответствующая дуга равна 80°; если известна дуга в 110°, угол составляет 55°. Связь работает в обе стороны: по углу находят дугу, а по дуге — угол.
В точке A касательная и хорда образуют два угла, которые в сумме дают 180°. Напротив каждого лежит своя дуга: одной будет меньшая дуга AB, другой — большая, а их меры в сумме составляют 360°. Поэтому большому углу соответствует большая дуга, малому — малая; нельзя автоматически брать дугу, которую удобнее заметить на рисунке. Теорема помогает также в задачах с треугольником: сначала находят его неизвестный угол, а затем связывают его с дугой или углом между касательной и хордой.
В таблице собраны основные варианты применения правила. Сначала найди известную величину и определи, какой угол или какая дуга ей соответствует, а затем используй равенство из последнего столбца. Если рассматривается второй угол, проверь, не нужна ли вместо малой дуги большая.
| Данные | Какой угол рассматривается | Равенство |
|---|---|---|
| Известна вписанная дуга | Угол между касательной и хордой | Угол равен половине градусной меры соответствующей дуги |
| Известен вписанный угол на той же хорде | Угол между касательной и хордой | Углы равны |
| Известен угол между касательной и хордой | Противоположная дуга | Дуга равна удвоенному углу |
| Рассматривается второй угол между касательной и хордой | Дополнительная дуга | Используется большая или малая дуга, соответствующая выбранному углу |
Задача 1. К окружности в точке A проведена касательная, через A проведена хорда AB. Вписанный угол ACB, опирающийся на хорду AB, равен 37°. Найти угол между касательной и хордой AB.
Ответ: 37°. Здесь не нужно искать дугу: равенство углов сразу даёт результат.
Задача 2. Касательная в точке A образует с хордой AB угол 52°. Найти градусную меру дуги AB, расположенной напротив этого угла.
Ответ: 104°. Проверка обратным действием: половина от 104° равна 52°.
Задача 3. В треугольнике ABC сторона AB — хорда окружности, а прямая AC — касательная к окружности в точке A. Угол C равен 48°, угол B равен 67°. Найти угол A и градусные меры двух дуг, соответствующих углам между касательной и хордой.
Ответ: угол A равен 65°, соответствующие дуги равны 130° и 230°.
Брать половину любой дуги. Так делают, когда замечают концы хорды, но не проверяют, какая дуга лежит напротив выбранного угла. В результате можно получить значение для другого угла между касательной и хордой. Проверь себя: дуга должна располагаться напротив вершины выбранного угла.
Путать этот угол с центральным. Центральный угол равен мере дуги, а угол между касательной и хордой — только половине соответствующей дуги. Ошибка возникает, когда в обоих случаях используют одну и ту же связь с дугой. Для проверки спроси себя, где находится вершина: в центре окружности или в точке касания.
Применять теорему к неподходящей хорде. Связь работает, когда хорда проходит через точку касания; иначе нужный угол между касательной и хордой не образуется. Иногда путают хорду с другим отрезком на рисунке. Проверь, совпадает ли один конец хорды с точкой, где прямая касается окружности.
Забывать о двух углах и двух дугах. Касательная и хорда образуют два угла, и каждому соответствует своя дуга; использование одной дуги для обоих углов даёт неверный ответ. Эту ошибку часто вызывает невнимание к формулировке задачи. Проверь, дополняются ли углы до 180°, а выбранные дуги — до 360°.
Для работы с этой темой нужно знать, что такое хорда, касательная, дуга и вписанный угол, а также помнить о перпендикулярности радиуса и касательной. Эти понятия помогают вывести теорему и выбрать правильные величины в задаче. Правило пригодится при решении задач на окружности, вписанные треугольники и четырёхугольники. С его помощью также доказывают равенство углов и решают задачи, связанные с касательными.
Как понять, какую дугу брать для угла между касательной и хордой?
Найди дугу между концами хорды, которая лежит напротив выбранного угла и не содержит его вершину. Именно её градусную меру нужно разделить на 2. Для второго угла между прямыми берут другую дугу.
Почему угол между касательной и хордой равен вписанному углу?
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Вместе с двумя радиусами и хордой он образует равнобедренный треугольник, потому что радиусы равны. Из свойств этого треугольника и суммы углов получается, что угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду.
Можно ли найти дугу, если известен угол между касательной и хордой?
Да. Градусная мера соответствующей дуги вдвое больше угла: если угол равен α, то дуга равна 2α. Сначала убедись, что выбрана дуга напротив именно этого угла.
Что делать, если в точке касания образуются два разных угла?
Определи, какой из двух углов требуется в задаче, и найди лежащую напротив него дугу. Для второго угла выбирают другую дугу, а сами углы в сумме дают 180°. Поэтому соответствующие дуги также дополняют друг друга до 360°.
Чем угол между касательной и хордой отличается от центрального угла?
Центральный угол имеет вершину в центре окружности и равен градусной мере дуги, на которую опирается. Угол между касательной и хордой имеет вершину в точке касания и равен половине соответствующей дуги. Поэтому эти углы не следует считать одинаково.
32. Угол между касательной и хордой.
