33. Вписанный угол.

Определения и обозначения

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Например, если вершина угла — точка C на окружности, а стороны проходят через точки A и B этой окружности, угол ACB вписанный. Это определение помогает отличить его от угла, вершина которого находится внутри окружности или вне её.

Дуга, на которую опирается вписанный угол, — часть окружности между точками пересечения его сторон с окружностью, не содержащая вершину угла. Для угла ACB концами такой дуги будут A и B, а точка C в выбранную дугу не входит. Это уточнение нужно, потому что между A и B есть две дуги, и в теореме используется только одна из них.

Градусная мера дуги — число градусов, равное градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Центральным называют угол с вершиной в центре окружности; его стороны проходят через концы дуги. Такая мера позволяет сравнивать дуги и связывать их с величиной вписанного угла.

Как это устроено

Чтобы распознать вписанный угол, сначала найдите его вершину, а затем проверьте, лежит ли она на окружности. После этого проследите обе стороны угла: каждая должна пересекать окружность ещё в одной точке. На схеме это можно обозначить так: вершина C находится на окружности, стороны проходят через A и B, а угол называется ACB. Если хотя бы одно условие не выполнено, угол не является вписанным.

Концы дуги, на которую опирается угол ACB, — точки A и B. Между ними можно пройти по окружности в двух направлениях, поэтому получаются малая и большая дуги; если A и B — концы диаметра, обе дуги являются полуокружностями. Выбирают ту дугу, которая не содержит вершину C. Это правило важно: иначе можно подставить в вычисление меру другой дуги и получить неверный результат.

Теорема утверждает: градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Обоснование связано с центральным углом: он опирается на ту же дугу и по определению имеет её градусную меру. Соединим вершину вписанного угла с центром окружности: получаются равнобедренные треугольники, потому что их стороны от центра до окружности — радиусы. Из равенства углов при основании этих треугольников следует, что вписанный угол составляет половину центрального; если проведённый отрезок делит угол на части, рассуждение применяют к каждой части.

Если два вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, то каждый равен половине её градусной меры. Значит, обе величины одинаковы, а углы равны между собой. Для этого вывода не требуется, чтобы вершины углов совпадали: важно только, что выбрана одна и та же дуга. Нельзя переносить это утверждение на любые два угла одной окружности.

Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая имеет градусную меру 180°. Вписанный угол, стороны которого проходят через концы диаметра, опирается на одну из этих полуокружностей. По теореме его мера равна 180° : 2 = 90°, поэтому такой угол прямой.

Свойства вписанного угла

Сначала найдите в таблице подходящую ситуацию, а затем используйте связь из второго столбца. В третьем столбце указан результат, который можно записать в ответе или применить дальше в решении.

Разбор задач

Задача 1. Вписанный угол опирается на дугу величиной 86°. Найдите угол. Здесь дана мера дуги, а требуется величина вписанного угла, поэтому нужно применить теорему в прямом направлении.

1. Обозначим искомый угол через x.
2. По теореме x равен половине дуги: x = 86° : 2 = 43°.
3. Проверим результат: угол меньше дуги, как и должно быть, поскольку он составляет её половину.

Ответ: 43°.

Задача 2. Вписанный угол равен 37°. Найдите градусную меру дуги, на которую он опирается. Теперь известен угол, а неизвестна дуга, поэтому связь надо использовать в обратном направлении: дуга вдвое больше угла.

1. Пусть градусная мера дуги равна y.
2. По теореме 37° = y : 2, поэтому y = 37° · 2 = 74°.
3. Проверим: половина найденной дуги равна 37°, то есть совпадает с условием.

Ответ: 74°.

Задача 3. В окружности AB — диаметр, точка C лежит на окружности. Найдите угол ACB и объясните ответ. Сначала важно увидеть, что стороны угла проходят через концы диаметра, поэтому его опорная дуга является полуокружностью.

1. Так как AB — диаметр, дуга между A и B, не содержащая C, имеет меру 180°.
2. Угол ACB равен половине этой дуги: 180° : 2 = 90°.
3. Значит, угол прямой; ответ не зависит от положения точки C на окружности.

Ответ: 90°.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вписанным любой угол, нарисованный внутри окружности. Так можно подумать, потому что на рисунке угол часто изображают рядом с окружностью или поверх неё. Но вершина вписанного угла обязательно лежит на окружности, а его стороны пересекают её. Проверьте положение вершины и обеих сторон, прежде чем применять теорему.

Ошибка: выбрать не ту дугу. Между точками пересечения сторон с окружностью есть две дуги, и легко взять ту, которая содержит вершину угла. По определению нужна дуга без вершины. Чтобы проверить себя, назовите обе точки-конца и мысленно проследите выбранную часть окружности.

Ошибка: умножить меру дуги на два вместо деления. Это происходит, если перепутать, что именно вдвое больше: дуга или угол. Вписанный угол равен половине своей дуги, поэтому известную дугу делят на 2; на 2 умножают угол, когда ищут дугу. Полезно проверить, что при вычислении угла ответ не больше меры дуги.

Ошибка: считать равными любые вписанные углы одной окружности. Углы могут иметь разные вершины и опираться на разные дуги, поэтому их меры не обязаны совпадать. Равенство следует, только если оба угла опираются на одну и ту же дугу. Перед выводом отметьте концы дуг для каждого угла и сравните их.

Связь с другими темами

Для работы с вписанными углами нужно знать, что такое окружность и центральный угол, а также уметь находить градусную меру дуги. Это связывает новую теорему с уже знакомыми понятиями и помогает понимать её обоснование. Позже свойства вписанных углов пригодятся в задачах на углы треугольника и вписанные четырёхугольники. Их также используют, чтобы доказывать геометрические утверждения о фигурах, связанных с окружностью.

Что запомнить

• Вершина вписанного угла лежит на окружности.
• Стороны вписанного угла пересекают окружность.
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
• Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.