34. Построение циркулем и линейкой.

Определения и обозначения

Построение циркулем и линейкой — получение искомой геометрической фигуры с помощью только разрешённых действий этими инструментами. Это не просто рисунок нужной формы: у каждого шага должно быть понятное основание. Такое определение помогает отличать точное геометрическое построение от наброска от руки.

Циркуль — инструмент, которым проводят окружности и откладывают отрезки заданной длины. Расстояние между его ножками называют раствором циркуля. Благодаря ему можно перенести длину отрезка, не измеряя её линейкой, или провести окружность нужного радиуса.

Линейка — инструмент без делений, используемый для проведения прямых через две известные точки. Она не предназначена для измерения длины или отметки точки на заданном расстоянии. Это правило важно, чтобы все действия в построении были одинаково определены и проверяемы.

Основные операции построения — проведение прямой через две точки, окружности с данным центром и радиусом, а также нахождение точек пересечения построенных линий. Сами точки пересечения становятся исходными данными для следующих шагов. Зная эти операции, можно описать построение как последовательность простых действий.

Как это устроено

Линейкой проводят прямую только через две уже построенные точки, потому что именно они однозначно задают прямую. Если указать одну точку, через неё можно провести много разных прямых, поэтому результата недостаточно для точного построения. Линейка без делений не сообщает ни длину, ни положение дополнительной точки на прямой. Поэтому перед её использованием обе точки должны быть известны из условия или получены ранее.

Циркулем проводят окружность, когда заданы её центр и радиус. Центр определяет положение окружности, а радиус — расстояние от центра до каждой её точки. Если не назвать центр или не задать радиус, окружность можно разместить множеством способов, и дальнейшие построения окажутся неопределёнными. Длину радиуса можно взять с данного отрезка, перенести циркулем или получить из условия.

Новые точки получают, находя пересечения уже построенных линий. Например, точка на пересечении двух окружностей одновременно находится на заданном расстоянии от каждого из их центров. Это позволяет использовать её как вершину фигуры с нужными длинами сторон. Полученную точку можно затем соединить с другими точками прямыми или взять за центр новой окружности.

Построение считают выполненным, если каждый его шаг разрешён и итоговая фигура обладает требуемыми свойствами. Например, для треугольника с заданными сторонами нужно показать, что расстояния между его вершинами действительно равны этим сторонам. Сначала проверяют, можно ли выполнить шаги и существуют ли необходимые пересечения. Затем обосновывают, почему результат удовлетворяет условию.

Готовый чертёж проверяют не по тому, насколько ровными кажутся линии, а по смыслу построения. Нужно установить, что нужные прямые или окружности пересекаются, а выбранные точки принадлежат им. После этого доказывают свойства фигуры: например, равенство отрезков или прямой угол. Рисунок может подсказать решение, но не заменяет доказательство, поскольку при черчении легко ошибиться в размерах и положении линий.

Основные построения циркулем и линейкой

Таблица показывает, какие данные нужны до начала каждого построения и что получится после выполнения шагов. В последнем столбце указано, какое свойство следует подтвердить, а не просто проверить на глаз. Если построение сложнее, его можно разбить на несколько таких основных операций.

Разбор задач

Построить отрезок, равный данному отрезку, с началом в заданной точке. Обозначим данный отрезок AB, а заданную точку — C. Искомый отрезок должен начинаться в C и иметь длину AB, поэтому нужно перенести именно расстояние между A и B, не пользуясь делениями линейки.

1. Поставим ножки циркуля в точки A и B, чтобы раствор стал равен длине AB. Это действие переносит длину отрезка без измерения.
2. Не меняя раствора, поставим иглу циркуля в C и проведём окружность. Выберем на ней точку D и проведём прямую через C и D, если требуется изобразить отрезок на заданном направлении.
3. Соединим C и D линейкой. Так как D лежит на окружности с центром C, CD равен её радиусу, а радиус равен AB.

Ответ: CD = AB, а начало построенного отрезка — точка C. Если направление не задано, на окружности можно выбрать любую точку D; тогда получится один из возможных отрезков нужной длины. Проверка опирается на равенство радиусов одной окружности.

Построить треугольник по трём заданным сторонам. Пусть нужно построить треугольник ABC, где длины сторон равны a, b и c. Одну сторону удобно взять основанием, а вершину найти как точку, удалённую от концов основания на две оставшиеся заданные длины. Перед построением стоит убедиться, что такие окружности могут пересечься.

1. Построим отрезок AB длины c. Он станет основанием искомого треугольника.
2. Проведём окружность с центром A и радиусом b, а с центром B — радиусом a. Растворы циркуля зададим по отрезкам соответствующих длин.
3. Обозначим одну из точек пересечения окружностей буквой C и проведём AC и BC. Выбор точки пересечения задаёт положение третьей вершины.

Ответ: треугольник ABC имеет стороны AB = c, AC = b и BC = a, потому что C принадлежит обеим окружностям. Если окружности не пересеклись, построить такой треугольник нельзя. При пересечении в двух точках получаются два положения вершины по разные стороны от основания.

Построить середину данного отрезка. Пусть дан отрезок AB. Нужно найти точку M на нём, для которой AM = MB, причём простое деление длины пополам линейкой недопустимо. Вместо измерения построим точки, равные по расстоянию от концов отрезка.

1. Проведём окружности одинакового радиуса с центрами A и B. Радиус выбираем больше половины AB, чтобы окружности пересеклись в двух точках.
2. Обозначим точки пересечения окружностей C и D и проведём прямую CD. Каждая из точек C и D равноудалена от A и B.
3. Обозначим пересечение прямых CD и AB буквой M. По свойству серединного перпендикуляра CD перпендикулярна AB и делит AB пополам.

Ответ: M — середина отрезка AB, то есть AM = MB. Равные радиусы нужны, чтобы точки C и D принадлежали обеим окружностям и были равноудалены от A и B. Если окружности не пересеклись, следует увеличить выбранный радиус и повторить построение.

Типичные ошибки

Используют линейку с делениями для измерения вместо разрешённых операций построения. Так поступают, потому что измерение кажется быстрым и привычным, но в классическом построении линейка служит только для проведения прямой через две точки. Проверьте себя: если вы определяли длину по шкале или отмечали расстояние, замените это действие переносом длины циркулем.

Проводят окружность без точно указанного центра или радиуса. Это случается, когда на рисунке кажется, будто окружности достаточно приблизительно совпасть с нужным местом. Без центра и радиуса положение окружности нельзя обосновать. Перед проведением спросите себя, какая точка станет центром и каким отрезком задан раствор циркуля.

Считают фигуру построенной только потому, что она выглядит правильной на рисунке. Причина в том, что глаз замечает форму, но не подтверждает равенство длин, углов или перпендикулярность. Проверьте каждое требуемое свойство рассуждением, опираясь на шаги построения. Если доказательства нет, внешний вид чертежа его не заменит.

Не учитывают существование точек пересечения: например, окружности с несовместимыми радиусами могут не пересекаться. Ошибка возникает, если сразу переходить к следующему шагу, предполагая, что нужная точка обязательно найдётся. Сначала сравните расстояние между центрами с радиусами и проверьте возможность пересечения. Если общей точки нет, измените построение только тогда, когда это допускает условие; иначе искомая фигура не существует.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать, что такое точка, прямая, отрезок, окружность, радиус, угол и пересечение фигур. Эти понятия помогают точно называть исходные данные и описывать результат каждого шага. Без них нельзя объяснить, почему выбранная точка или проведённая линия подходит для построения.

Основные построения пригодятся при построении треугольников, перпендикуляров, биссектрис и серединных перпендикуляров. Они также встречаются в задачах на геометрические места точек — множества точек, обладающих общим свойством, например находящихся на одинаковом расстоянии от двух точек. Поэтому умение находить пересечения окружностей и прямых будет использоваться снова.

Позже правильность более сложных построений потребуется обосновывать с помощью признаков равенства треугольников и свойств окружности. Эти знания позволяют доказывать, что построенные отрезки равны или углы имеют нужную величину. Так последовательность действий превращается в строгое решение геометрической задачи.

Что запомнить

• Линейка используется для проведения прямой через две известные точки.
• Циркулем проводят окружность с заданным центром и радиусом.
• Новые точки получают как пересечения уже построенных прямых и окружностей.
• Каждый шаг построения должен быть разрешённым действием.
• Правильность построения подтверждается свойствами фигуры, а не внешним видом чертежа.
• При построении нужно проверять, существуют ли необходимые точки пересечения.