35. Построение треугольника по трём сторонам.

Определения и обозначения

Треугольник по трём сторонам — треугольник, для которого заданы длины всех трёх сторон. Например, можно знать, что стороны равны 3 см, 4 см и 5 см, но ещё не знать, где расположены вершины. Это описание задачи, а не гарантия, что треугольник существует. Для построения нужно найти его вершины так, чтобы все три длины совпали с заданными.

Неравенство треугольника — сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Условие должно выполняться для каждой пары, иначе стороны нельзя соединить в замкнутую фигуру с углами. Именно поэтому эту проверку делают до чертежа. Она позволяет заранее понять, имеет ли задача решение.

Окружность — множество точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от одной точки — центра. Это расстояние называют радиусом. Если центр находится в конце основания, окружность отмечает все возможные положения вершины на нужном расстоянии от этого конца. Так окружность помогает точно задать одну из сторон треугольника.

Построение циркулем и линейкой — выполнение геометрической конструкции с помощью этих инструментов. Линейкой откладывают отрезки и проводят прямые, а циркулем строят окружности с выбранным радиусом. При таком построении важны не приблизительные измерения, а заданные расстояния. Полученная фигура должна удовлетворять условиям задачи.

Как это устроено

До построения проверяют, что сумма любых двух заданных сторон больше третьей. Представь, что две стороны соединены концами: третья сторона должна замкнуть фигуру, а для этого её длина должна быть меньше длины пути по двум другим сторонам. Если сумма равна третьей, отрезки выстроятся в одну линию; если меньше — до конца третьей стороны не дотянуться. В обоих случаях настоящего треугольника не будет, поэтому строить его бессмысленно.

Одну из сторон выбирают основанием, например отрезок AB, и откладывают его длину линейкой. Для этого отмечают точку A, прикладывают линейку и ставят точку B на нужном делении, после чего проводят отрезок AB. Выбор основания не меняет задачу: каждая из трёх сторон может быть начальной. Удобнее выбрать длину, которую легко отложить и контролировать на чертеже.

Третья вершина должна быть удалена от A на длину одной из оставшихся сторон, а от B — на длину другой. Все точки на заданном расстоянии от A лежат на окружности с центром A, а все точки на нужном расстоянии от B — на окружности с центром B. Значит, искомая вершина должна принадлежать обеим окружностям одновременно. Поэтому строят две окружности, а их общие точки и проверяют как возможные положения вершины.

Если окружности пересеклись в точке C, то по определению окружности AC равен радиусу первой, а BC — радиусу второй. Радиусы выбраны равными двум оставшимся заданным сторонам, поэтому все три стороны ABC имеют требуемые длины. Соединение C с A и B завершает построение. Если условие неравенства треугольника выполнено, окружности пересекутся так, что можно выбрать вершину вне прямой основания, и получится треугольник.

Обычно две окружности пересекаются в двух точках по разные стороны основания. Каждая из них находится на одинаковых расстояниях от A и B, поэтому обе дают треугольник с теми же длинами сторон. Один треугольник получается отражением другого относительно основания: это зеркальные положения одной и той же фигуры. По признаку равенства треугольников по трём сторонам они равны, поэтому можно выбрать любую точку пересечения.

Этапы построения треугольника по трём сторонам

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: не переходи к окружностям, пока не проверены длины. В строке с окружностями отдельно сверь и их центры, и радиусы. После соединения вершины с концами основания проверь, что получились все три заданные стороны.

Разбор задач

Задача 1. Построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см.

Сначала выясним, существует ли такой треугольник: 3 + 4 больше 5, а суммы 3 + 5 и 4 + 5 тоже больше оставшихся сторон. Значит, можно выполнять построение. За основание удобно взять наибольшую сторону 5 см. Радиусы окружностей тогда будут равны 3 см и 4 см.

1. Отложим отрезок AB длиной 5 см. Он будет основанием будущего треугольника.
2. Поставим иглу циркуля в A и проведём окружность радиусом 3 см. Затем поставим иглу в B и проведём окружность радиусом 4 см.
3. Обозначим одну из точек пересечения окружностей буквой C. Соединим C с A и B: AC = 3 см, BC = 4 см, а AB = 5 см.

Получился треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Проверка длин показывает, что каждая сторона совпадает с одним из заданных значений. Ответ: построение возможно.

Задача 2. Построить треугольник со сторонами 2 см, 3 см и 5 см. Определить, возможна ли конструкция.

Здесь прежде всего сравним сумму двух меньших длин с наибольшей: 2 + 3 = 5. Для треугольника нужна строгая неравенство, то есть сумма должна быть больше, а не равна третьей стороне. Поэтому окружности с такими радиусами не дадут вершины вне прямой основания. Чертёж не сможет стать невырожденным треугольником.

1. Проверим неравенство для двух меньших сторон: 2 + 3 = 5, условие «больше 5» не выполнено.
2. Можно мысленно взять основание 5 см и построить окружности радиусами 2 см и 3 см из его концов. При равенстве суммы радиусов длине основания окружности могут соприкоснуться лишь на линии основания.
3. Точка на самом основании не образует третью вершину треугольника: все точки окажутся на одной прямой. Поэтому соединение отрезков даст вырожденную фигуру, а не треугольник.

Строить настоящий треугольник с такими сторонами нельзя. Ответ: конструкция невозможна, так как сумма двух меньших сторон равна третьей.

Задача 3. Построить треугольник со сторонами 4 см, 6 см и 7 см и объяснить, почему любой треугольник с такими сторонами равен построенному.

Проверим возможность: 4 + 6 больше 7, 4 + 7 больше 6, а 6 + 7 больше 4. Значит, треугольник существует. Возьмём за основание сторону 7 см, а для окружностей используем радиусы 4 см и 6 см. Чтобы доказать единственность, после построения сравним его стороны со сторонами любого другого треугольника из условия.

1. Отложим основание AB = 7 см. Из точки A проведём окружность радиусом 4 см, а из точки B — окружность радиусом 6 см.
2. Выберем точку пересечения C и соединим её с A и B. Получим AC = 4 см и BC = 6 см, поэтому построенный треугольник имеет все заданные стороны.
3. Пусть есть другой треугольник с теми же длинами сторон. Его сторона 7 см соответствует AB, а две другие стороны равны 4 см и 6 см.
4. У этих треугольников равны три соответствующие стороны. По признаку равенства по трём сторонам треугольники равны; возможное зеркальное расположение этому не мешает.

Ответ: построение возможно, и любой треугольник с такими сторонами равен построенному. Он может лежать в другом месте или по другую сторону основания, но это меняет только положение, а не форму и размеры.

Типичные ошибки

Начинать построение без проверки неравенства треугольника — значит рисковать получить окружности, которые не дают нужной вершины. Так бывает, когда сразу хочется перейти к чертежу и не проверяют условие задачи. Сложи длины двух меньших сторон и сравни их с наибольшей, затем проверь остальные пары. Если хотя бы одна сумма не больше третьей стороны, остановись: невырожденный треугольник построить нельзя.

Неверный радиус приводит к отрезку не той длины, хотя окружности могут выглядеть подходящими. Ошибку допускают, когда путают, какой стороне соответствует каждая окружность, или неточно выставляют циркуль. Перед проведением окружности ещё раз назови нужную сторону и проверь раствор циркуля по линейке. После построения убедись, что расстояние от её центра до выбранной точки пересечения равно заданной длине.

Если центры окружностей поставлены не в концах основания, их общая точка не задаёт правильные расстояния до вершин основания. Это может случиться, когда точки основания отмечены неверно или построение начинают не с того отрезка. Проверь обозначения: один центр должен совпадать с A, другой — с B. Тогда отрезки от точки пересечения до A и B будут соответствовать радиусам.

Две точки пересечения окружностей не означают два разных по форме решения. Их принимают за разные треугольники, потому что на чертеже они выглядят по-разному и лежат по разные стороны основания. Сравни длины соответствующих сторон: в обоих случаях они одинаковы. Значит, треугольники равны, а различается только их зеркальное положение.

Связь с другими темами

До этой темы полезно уметь откладывать отрезок заданной длины и строить окружность циркулем. Эти навыки нужны, чтобы точно задать основание и расстояния от будущей вершины до концов основания. Если забыть, как пользоваться циркулем, легко перепутать центр окружности с её радиусом. Поэтому построение треугольника опирается на уже знакомые геометрические действия.

Способ построения связан с признаками равенства треугольников: по трём сторонам можно доказать, что два треугольника равны. Это помогает обосновывать геометрические конструкции, а не только выполнять чертёж. В задачах на равенство достаточно установить совпадение трёх соответствующих сторон. Так построение становится инструментом для доказательства.

Что запомнить

• Сначала проверь неравенства треугольника.
• Одну из заданных сторон выбери основанием.
• Центры двух окружностей — концы основания.
• Радиусы окружностей равны длинам двух оставшихся сторон.
• Точка пересечения окружностей задаёт третью вершину.
• Треугольники с одинаковыми тремя сторонами равны.