36. Построение угла, равного данному.

Определения и обозначения

Равные углы — углы, которые совмещаются при наложении; их градусные меры одинаковы. Если один угол повернуть или перенести, он может совпасть с другим, не изменив своей величины. Это понятие нужно, чтобы понимать, какой результат должно дать построение.

Построение угла, равного данному — построение циркулем и линейкой угла, совмещающегося с заданным. При таком построении не требуется знать градусную меру исходного угла. Нужно точно перенести его особенности на новое место.

Циркуль — инструмент, с помощью которого проводят окружности и переносят расстояния без изменения их длины. Расстояние между ножками циркуля называют его раствором. Он помогает перенести радиус дуги и отрезок между двумя точками.

Линейка — инструмент для проведения прямой через две заданные точки. В этом построении с её помощью проводят новую сторону угла через его вершину и отмеченную точку. Линейкой здесь не измеряют длину отрезков.

Как это устроено

Сначала задают луч, из которого будет строиться новый угол, и выбирают сторону этого луча. Луч станет одной стороной искомого угла, а его начало — вершиной. Выбор стороны нужен, потому что второй луч можно провести по разные стороны от заданного; заранее определившись, легче не перепутать нужную точку при построении.

Из вершины исходного угла проводят дугу так, чтобы она пересекла обе его стороны, и отмечают места пересечения. Дуга одинаково удалена от своей вершины, поэтому расстояния от вершины угла до обеих отмеченных точек равны. Эти две точки задают отрезок, который показывает, насколько широко стороны расходятся на выбранном расстоянии от вершины.

Не меняя раствор циркуля, проводят такую же дугу с центром в начале заданного луча. Она пересекает луч и задаёт первую точку будущего угла. Радиус сохраняют, чтобы новая дуга проходила на таком же расстоянии от своей вершины, как исходная дуга от вершины данного угла. Если изменить раствор, сравниваемые построения перестанут соответствовать друг другу.

Теперь циркулем переносят на новую дугу расстояние между двумя точками пересечения исходной дуги со сторонами угла. Для этого устанавливают ножки циркуля в эти точки, сохраняя полученный раствор, а затем откладывают его от точки пересечения новой дуги с заданным лучом. Так на новой дуге появляется вторая точка, соответствующая второй стороне исходного угла.

Из начала заданного луча проводят луч через отмеченную точку. Чтобы обосновать результат, рассматривают треугольники, образованные вершинами углов и точками пересечения дуг со сторонами. Их стороны от вершин до точек пересечения равны как радиусы, расстояния между точками равны по переносу циркулем, а третьи стороны тоже равны как радиусы новых дуг. Значит, треугольники равны по трём сторонам, и их углы при вершинах равны.

Построение угла, равного данному

Пользуйтесь таблицей как порядком действий: переходите к следующему шагу, только выполнив предыдущий. Отдельно следите за раствором циркуля и за тем, какие именно две точки исходной дуги задают переносимое расстояние. Последний шаг — не новое действие циркулем, а доказательство того, что построенный угол равен заданному.

Разбор задач

1. Дан угол ABC и луч OX. Постройте из точки O угол, равный углу ABC.

Вершина исходного угла — B, а его стороны — BA и BC. Новый угол должен иметь вершину O и одну сторону OX. Для переноса нужно сохранить одинаковый радиус дуг и расстояние между точками, где исходная дуга пересекла стороны угла.

1. Поставьте иглу циркуля в B и проведите дугу, пересекающую BA и BC в точках M и N.
2. Не меняя раствора, поставьте иглу в O и проведите дугу, пересекающую луч OX в точке P.
3. Раскройте циркуль на расстояние MN. Поставьте иглу в P и отметьте на новой дуге точку Q с выбранной стороны луча.
4. Проведите луч OQ. Он образует с OX искомый угол.

Ответ: угол XOQ равен углу ABC. Точки M, N, P и Q выбраны так, что расстояния от центров дуг до точек пересечения равны, а MN = PQ. Поэтому соответствующие треугольники равны по трём сторонам, и углы при B и O равны.

2. Постройте угол, равный данному, если заданный луч направлен в противоположную сторону от вершины исходного угла.

Направление луча само по себе не меняет способ построения: важно лишь, с какой стороны от него будет расположен новый угол. Выберите нужную сторону до начала работы, чтобы точка, отмеченная на новой дуге, оказалась там же. Не пытайтесь переносить сам рисунок или положение исходной вершины — переносите только расстояния.

1. Из вершины данного угла проведите дугу, пересекающую обе его стороны, и назовите точки пересечения M и N.
2. С тем же раствором проведите дугу из начала заданного луча. Она пересечёт луч в точке P.
3. Установите раствор циркуля, равный MN, и отложите это расстояние от P до новой дуги с выбранной стороны луча. Полученную точку назовите Q.
4. Проведите луч из начала заданного луча через Q.

Ответ: угол между заданным лучом и построенным лучом равен исходному. Противоположное направление заданного луча не мешает: точность обеспечивают равные радиусы и перенесённое расстояние MN. Проверьте, что Q лежит на новой дуге и выбрана нужная сторона луча.

3. Постройте угол, равный данному, и докажите правильность построения.

Пусть вершины исходного и нового углов — B и O. Обозначим точки пересечения исходной дуги со сторонами угла через M и N, а новой дуги с лучом и построенной стороной — через P и Q. Для доказательства сравним треугольники BMN и OPQ. Такое сравнение показывает, почему перенесённые циркулем расстояния дают именно равные углы.

1. Проведите обе дуги одинаковым раствором циркуля, поэтому BM = OP и BN = OQ: это радиусы.
2. Перенесите циркулем расстояние MN на новую дугу, следовательно, MN = PQ.
3. Получились три пары равных сторон: BM = OP, BN = OQ, MN = PQ. Значит, треугольники BMN и OPQ равны по трём сторонам.
4. У равных треугольников равны соответствующие углы при вершинах. Поэтому угол MBN равен углу POQ, то есть построенный угол равен данному.

Ответ: построение верно по признаку равенства треугольников по трём сторонам. Равенство углов следует из равенства соответствующих углов этих треугольников, а не только из внешнего сходства чертежей.

Типичные ошибки

Менять раствор циркуля при переносе радиуса дуги. Иногда ножки циркуля случайно сдвигаются, когда его переставляют к новой вершине. Тогда радиусы дуг отличаются и одинаковые стороны треугольников уже не гарантированы. Перед проведением новой дуги проверьте, что раствор не изменился.

Переносить не расстояние между точками на сторонах исходного угла. Можно по ошибке взять отрезок с другой дуги или измерить расстояние от вершины до точки. Нужна именно хорда — отрезок между двумя точками пересечения одной исходной дуги со сторонами угла. Назовите эти точки и устанавливайте циркуль прямо на них.

Ставить вторую точку не на новой дуге. Если точка окажется в стороне от дуги, расстояния от неё до начала нового луча не будет равным радиусу. Ошибка возникает, когда отметку делают слишком приблизительно или путают дугу с лучом. Проверьте, что точка Q одновременно лежит на новой дуге и отстоит от P на перенесённое расстояние.

Считать равенство углов доказанным только по чертежу. Рисунок может выглядеть убедительно, но зрительное сходство не является доказательством. Чтобы проверить себя, укажите три пары равных сторон построенных треугольников и назовите признак их равенства. Только после этого можно заключить, что соответствующие углы равны.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь пользоваться циркулем и линейкой, а также находить точки пересечения прямых и окружностей. Без этих навыков трудно точно отметить дуги и перенести расстояния. Построение равного угла пригодится в задачах на геометрические построения и при копировании фигур, у которых задан угол. Оно также показывает, как практическое действие циркулем можно обосновать свойствами треугольников.

Что запомнить

• Угол, равный данному, строят циркулем и линейкой.
• Радиус дуги при переносе сохраняют.
• На новую дугу переносят расстояние между точками пересечения исходной дуги со сторонами угла.
• Вторую сторону нового угла проводят через начало заданного луча и отмеченную точку.
• Равенство построенного и данного углов обосновывают равенством соответствующих треугольников.