37. Построение биссектрисы угла.

Определения и обозначения

Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Именно луч, а не отрезок или прямая, является биссектрисой. Это уточнение помогает правильно записать результат построения: луч начинается в вершине и продолжается в одну сторону.

Циркуль — инструмент для проведения окружностей и переноса расстояний. Расстояние между его ножками называется раскрытием циркуля. Если нужно провести дуги одинакового радиуса, после первой дуги не меняй раскрытие: тогда расстояния от центров дуг до точек на этих дугах будут равны.

Линейка — инструмент, с помощью которого проводят прямую или луч через заданные точки. В геометрических построениях линейку используют без измерения длин. Она нужна здесь, чтобы провести из вершины угла луч через точку пересечения дуг, а не чтобы измерять или откладывать расстояния.

Построение биссектрисы — получение луча, который делит заданный угол пополам, с помощью циркуля и линейки. Его выполняют последовательностью точных действий, а не подбором направления на глаз. Затем нужно объяснить, почему полученный луч действительно делит угол на равные части.

Как это устроено

Сначала из вершины угла проводят окружность, которая пересекает обе его стороны. Точки пересечения обозначают, например, A и B, а вершину — O. Поскольку A и B лежат на одной окружности с центром O, расстояния OA и OB равны: оба они являются радиусами этой окружности. Так получают две точки на сторонах угла, одинаково удалённые от вершины.

Теперь ставят ножку циркуля в A и проводят дугу внутри угла, а затем, не меняя раскрытия, ставят ножку в B и проводят вторую дугу. Радиус выбирают достаточно большим, чтобы дуги встретились внутри угла. Если он слишком мал, дуги могут не пересечься, поэтому раскрытие увеличивают; равенство радиусов при этом обязательно сохраняют. Точку пересечения дуг внутри угла обозначают C.

Точка C лежит на дуге с центром A и на дуге с центром B. Поэтому расстояния AC и BC равны радиусам этих дуг, а радиусы одинаковы: AC = BC. Ранее мы получили OA = OB, потому что точки A и B отмечены одной окружностью с центром O. Значит, в построении есть две пары равных расстояний, необходимых для дальнейшего доказательства.

Рассмотрим треугольники OAC и OBC. Их стороны OA и OB равны, стороны AC и BC также равны, а OC — общая сторона этих треугольников. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. При сравнении треугольников O соответствует O, поэтому равны и углы AOC и COB — углы, расположенные у вершины исходного угла.

Проведём из O луч через C. Он делит исходный угол на два угла: AOC и COB. Так как эти углы равны, луч OC по определению является биссектрисой. Следовательно, построение даёт нужный результат не только на рисунке: равенство частей подтверждается равенством треугольников.

Этапы построения биссектрисы угла

Пользуйся таблицей как порядком действий: не переходи к следующему этапу, пока не выполнил предыдущий. Особенно следи за неизменным раскрытием циркуля при проведении двух дуг. Последний этап — не новое действие циркулем, а объяснение, почему построенный луч делит угол пополам.

Разбор задач

Задача 1. Построить биссектрису данного угла циркулем и линейкой.

Решение. Обозначим вершину угла O. Нам нужно получить две точки на его сторонах, равноудалённые от O, а затем найти точку, равноудалённую от этих двух точек. Так построение будет опираться на равные расстояния, а не на то, как луч выглядит на чертеже.

1. Поставь иглу циркуля в O и проведи окружность, пересекающую стороны угла в точках A и B.
2. Выбери раскрытие циркуля и проведи дугу с центром A внутри угла. Не меняя раскрытия, проведи дугу с центром B.
3. Обозначь точку пересечения дуг внутри угла буквой C. Если пересечения нет, увеличь раскрытие и повтори проведение обеих дуг.
4. Приложи линейку к O и C и проведи луч OC.

Ответ: луч OC — построенная биссектриса. Окружность с центром O дала равные расстояния OA и OB, а дуги одинакового радиуса дали AC = BC. Эти равенства используются для проверки построения.

Задача 2. Объяснить, почему построенный луч делит угол на две равные части.

Решение. Одного чертежа недостаточно: две части могут казаться равными из-за неточности рисунка. Поэтому рассмотрим треугольники OAC и OBC и проверим, равны ли их стороны. Именно равенство этих треугольников позволит сравнить части угла.

1. Так как OA и OB — радиусы одной окружности с центром O, OA = OB.
2. Так как AC и BC — радиусы дуг одинакового раскрытия, AC = BC.
3. Сторона OC общая для треугольников OAC и OBC, то есть OC = OC.
4. По трём равным сторонам треугольники OAC и OBC равны. Поэтому равны соответствующие углы AOC и COB.

Ответ: луч OC делит исходный угол на равные углы, значит, является его биссектрисой. В доказательстве использованы три пары равных сторон, а не измерение углов. Такой способ обоснования остаётся верным даже при неточном чертеже.

Задача 3. Построить биссектрису, если дуги не пересекаются внутри угла.

Решение. Сначала проверь, что раскрытие циркуля не изменилось между проведениями дуг: разные радиусы нарушат построение. Если раскрытие было одинаковым, причиной отсутствия пересечения может быть слишком малый радиус. Нужно изменить его так, чтобы дуги встретились в нужной части угла.

1. Оставь точки A и B, отмеченные на сторонах одной окружностью с центром в вершине O.
2. Увеличь раскрытие циркуля и проведи дугу с центром A внутри угла.
3. Не меняя нового раскрытия, проведи дугу с центром B и проверь, появилась ли точка пересечения внутри угла.
4. Если дуги пересеклись внутри угла в точке C, проведи луч OC.

Ответ: нужно подобрать больший одинаковый радиус и провести дуги заново. Затем соединить вершину угла с их внутренней точкой пересечения. Если дуги по-прежнему не пересекаются в подходящем месте, проверь их расположение и повтори построение с другим раскрытием.

Типичные ошибки

• Дуги проведены разными радиусами. Так случается, если случайно сдвинуть ножку циркуля или изменить его раскрытие между дугами. Тогда точка пересечения не гарантированно равноудалена от A и B, поэтому сравнение треугольников по трём сторонам не обосновывается. Проверь себя: расстояния от центров дуг до C должны быть одинаковыми.
• Радиус дуг слишком мал. Дуги могут не встретиться, и точку C нельзя будет отметить. Обычно это исправляют, увеличивая раскрытие циркуля. Перед повтором убедись, что после изменения радиуса обе дуги будут проведены с одним и тем же раскрытием.
• Вершину соединили с точкой на стороне угла. Такая точка уже лежит на стороне, поэтому проведённый через неё луч просто совпадёт с частью стороны, а не укажет на внутреннее пересечение дуг. Проверь, что выбранная точка принадлежит обеим дугам и находится внутри угла. Именно её нужно соединить с вершиной.
• Построение считают доказанным по виду рисунка. На глаз две части могут казаться равными, хотя линии проведены неточно. Чтобы проверить себя, назови два получившихся треугольника, укажи три пары равных сторон и сделай вывод о равенстве соответствующих углов. Без этого объяснения рисунок сам по себе не доказывает результат.

Связь с другими темами

Для построения нужно знать, что такое угол, его вершина и стороны, а также уметь пользоваться циркулем и линейкой. Доказательство опирается на равенство треугольников и равенство соответствующих углов: эти свойства связывают выполненные действия с результатом. Биссектрисы пригодятся при построении геометрических фигур и в задачах, где нужно работать с углами. Поэтому важно не только уметь провести луч, но и объяснить, почему он делит угол поровну.

Что запомнить

• Биссектриса угла — луч, делящий угол на два равных угла.
• Сначала на обеих сторонах угла отмечают точки, равноудалённые от вершины.
• Из отмеченных точек проводят дуги одним и тем же радиусом.
• Точка пересечения дуг внутри угла равноудалена от отмеченных точек.
• Луч из вершины через точку пересечения дуг — биссектриса угла.
• Построение обосновывают равенством двух треугольников по трём сторонам.