38. Построение серединного перпендикуляра.

Определения и обозначения

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Например, если прямая пересекает AB в точке M, то она должна образовывать с AB прямой угол, а AM и MB должны быть равны. Это определение помогает проверить, подходит ли прямая для построения. Одного из этих условий недостаточно: нужны оба.

Середина отрезка — точка этого отрезка, которая делит его на два равных отрезка. Если M — середина AB, то AM = MB, а сама точка M лежит между A и B. Это понятие нужно, чтобы точно указать, через какую точку должна проходить искомая прямая. Серединой является точка, а не весь перпендикуляр.

Перпендикулярные прямые — прямые, которые при пересечении образуют прямые углы. Прямой угол равен 90°, поэтому угол между серединным перпендикуляром и отрезком должен быть именно таким. Это условие объясняет, как провести прямую относительно отрезка. В обозначениях часто говорят, что прямая перпендикулярна отрезку AB.

Геометрическое место точек, равноудалённых от двух точек, — серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих точках. «Равноудалённые» означает, что расстояния от точки до обоих концов равны: для точки X это записывают как XA = XB. Свойство позволяет не только строить серединный перпендикуляр, но и находить точки, одинаково удалённые от A и B. Оно работает и в обратную сторону: любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

Как это устроено

Пусть дан отрезок AB, к которому нужно построить серединный перпендикуляр. Сначала выбирают радиус циркуля, который больше половины длины AB. Такой выбор нужен не для точности измерения, а для того, чтобы дуги с центрами в A и B встретились выше и ниже отрезка. Если радиус равен половине AB или меньше, две дуги не дадут двух точек пересечения, необходимых для проведения прямой.

Затем, не изменяя раствора циркуля, проводят дуги сначала из A, потом из B. Их общие точки обозначают C и D. Радиус должен оставаться одним и тем же: тогда AC и BC — радиусы одинаковых дуг, поэтому AC = BC; по той же причине AD = BD. Значит, и C, и D равноудалены от концов AB.

Теперь проводят прямую через C и D. Она соединяет две точки, для каждой из которых расстояния до A и B равны. По свойству геометрического места таких точек обе лежат на серединном перпендикуляре к AB. Через две различные точки проходит ровно одна прямая, поэтому CD и есть искомый серединный перпендикуляр. Именно поэтому важно соединить обе точки пересечения дуг, а не конец отрезка с одной из них.

Обоснование построения опирается на свойство точек, равноудалённых от концов отрезка: они лежат на его серединном перпендикуляре. Применяя это свойство к C и D, мы получаем, что обе точки принадлежат этой прямой. Так как через них можно провести только одну прямую, построенная CD совпадает с серединным перпендикуляром. Значит, она проходит через середину AB и перпендикулярна отрезку, даже если эти свойства не измеряли транспортиром и линейкой.

Подходящий радиус можно выбрать по-разному: например, взять немного больше половины AB или заметно больше. При любом таком выборе обе дуги пересекутся в двух точках, и каждая точка пересечения будет равноудалена от A и B. Поэтому линия через эти точки получится одной и той же — серединным перпендикуляром. Меняется место точек C и D, но не результат построения.

Построение серединного перпендикуляра к отрезку

Таблица показывает и порядок действий, и причину каждого шага. Выполняй этапы по очереди, сохраняя одинаковый радиус циркуля при проведении обеих дуг. Последняя строка помогает проверить построение по определению.

Разбор задач

Задача 1. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку AB с помощью циркуля и линейки. Нужно найти не числовой ответ, а прямую, которая делит AB пополам под прямым углом. Для этого достаточно получить две точки, равноудалённые от A и B. Проведённая через них прямая и будет искомой.

1. Поставим иглу циркуля в A и выберем радиус больше половины AB.
2. Не меняя радиус, проведём дугу, затем поставим иглу в B и проведём такую же дугу. Обозначим точки пересечения C и D.
3. Проведём линейкой прямую CD. Из-за одинакового радиуса AC = BC и AD = BD, поэтому C и D равноудалены от A и B.

Ответ: прямая CD — серединный перпендикуляр к AB. Здесь не требуется заранее находить середину измерением: она окажется в точке пересечения CD с AB. Построение обосновано тем, что C и D лежат на геометрическом месте точек, равноудалённых от A и B.

Задача 2. Отрезок AB имеет длину 8 см. Выберите подходящий радиус циркуля и постройте его серединный перпендикуляр. Половина отрезка равна 8 : 2 = 4 см, поэтому радиус должен быть строго больше 4 см. Например, можно взять 5 см; подойдёт и любое другое удобное значение больше 4 см.

1. Установим радиус циркуля 5 см, то есть больше половины AB.
2. Проведём дуги с центрами A и B, сохраняя один и тот же раствор. Обозначим две точки их пересечения C и D.
3. Соединим C и D линейкой. Равенство радиусов даёт AC = BC и AD = BD, поэтому прямая CD проходит через точки, равноудалённые от концов отрезка.

Ответ: например, радиус 5 см подходит; прямая через точки пересечения дуг — серединный перпендикуляр к AB. Выбирать ровно 5 см необязательно, важно условие «больше 4 см». Если взять 4 см, дуги будут лишь касаться в одной точке, а провести через две точки нужную прямую не получится.

Задача 3. Даны точки A и B. Постройте точку X, равноудалённую от A и B и находящуюся на расстоянии 5 см от каждой из них. Условие XA = XB означает, что X должна лежать на серединном перпендикуляре к AB. Условие XA = 5 см означает, что X лежит на окружности с центром A и радиусом 5 см. Значит, нужно найти общие точки этих двух линий.

1. Циркулем и линейкой построим серединный перпендикуляр к AB.
2. Проведём окружность с центром A и радиусом 5 см.
3. Отметим точки пересечения окружности и серединного перпендикуляра. В каждой такой точке расстояние до A равно 5 см, а до B — такое же, поскольку точка лежит на серединном перпендикуляре.

Ответ: искомые точки — пересечения построенной прямой с окружностью. В зависимости от взаимного расположения прямой и окружности пересечений может быть две, одно или ни одного. Если задача предполагает наличие точек, именно пересечения удовлетворяют сразу обоим условиям.

Типичные ошибки

Ошибка: выбрать радиус циркуля меньше половины отрезка. Тогда расстояния от центров дуг до любой общей точки не хватит, чтобы дуги встретились, поэтому построение остановится. Такую ошибку допускают, когда не учитывают расстояние между A и B. Перед работой сравни радиус с половиной отрезка; при AB = 8 см, например, нужен радиус больше 4 см.

Ошибка: менять раствор циркуля между дугами. Тогда точки пересечения не обязательно будут равноудалены от A и B, ведь расстояния от них до концов окажутся разными. Обычно это происходит, если случайно сдвинуть ножки циркуля или заново выставить радиус на глаз. Проверь себя: расстояния от C до A и B должны совпадать, как и расстояния от D до A и B; проще всего этого добиться, не трогая раствор.

Ошибка: провести прямую через конец AB и только одну точку пересечения дуг. Такая прямая не использует вторую равноудалённую точку и обычно не совпадает с серединным перпендикуляром. Её выбирают по привычке соединять заметную точку с концом отрезка, но для построения нужны именно обе общие точки дуг. Сверь обозначения и проведи прямую через C и D.

Ошибка: считать, что любая точка на серединном перпендикуляре — середина отрезка. На этой прямой лежит множество точек, а середина AB — только точка пересечения прямой с самим отрезком. Путаница возникает из-за слова «серединный» в названии. Проверь положение точки: середина должна находиться на AB и делить его на две равные части.

Связь с другими темами

Для построения понадобятся циркуль и линейка: важно уметь проводить дуги и прямые, сохраняя заданный раствор циркуля. Понятие перпендикулярных прямых помогает сформулировать, каким должен быть угол с отрезком. Равноудалённость от двух точек встречается при поиске центра окружности, проходящей через эти точки: такой центр должен находиться на серединном перпендикуляре. Это построение также опирается на геометрическое место точек и помогает решать задачи на построение треугольников и поиск точек с заданными расстояниями.

Что запомнить

• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему.
• Точки на серединном перпендикуляре равноудалены от концов отрезка.
• Дуги проводят из обоих концов отрезка одним и тем же радиусом.
• Радиус дуг должен быть больше половины отрезка.
• Прямая через точки пересечения дуг — серединный перпендикуляр.
• Пересечение серединного перпендикуляра с отрезком — его середина.