39. Построение прямой, перпендикулярной к данной.

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть образуют угол 90°. Если прямая a перпендикулярна прямой b, записывают a ⟂ b. Это обозначение сразу сообщает, что при их пересечении не нужно искать величину угла: он прямой.

Перпендикуляр к прямой из точки — отрезок прямой, проведённый из этой точки к данной прямой под прямым углом. Его проводят, когда нужно соединить точку с прямой кратчайшим прямым отрезком или выполнить дальнейшее построение. Саму линию можно продолжить за исходную прямую, поэтому перпендикулярная прямая обычно не ограничивается одним отрезком.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает данную прямую. Если из точки P проведён перпендикуляр к прямой a и он пересёк её в точке H, то H — основание перпендикуляра. Это помогает отличать точку пересечения от всего отрезка или прямой.

Как это устроено

Построение перпендикуляра сводится к построению серединного перпендикуляра к некоторому отрезку. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и перпендикулярен ему, потому что точки на этой линии находятся на одинаковом расстоянии от концов отрезка. Поэтому достаточно получить отрезок, лежащий на данной прямой, и найти линию, равноудалённую от его концов.

Если заданная точка лежит на прямой, циркулем с центром в ней отмечают на прямой две точки по разные стороны от центра. Их расстояния до заданной точки равны, значит, заданная точка является серединой полученного отрезка. Серединный перпендикуляр к этому отрезку поэтому проходит через исходную точку и образует с данной прямой прямой угол.

Если точка не лежит на прямой, проводят окружность с центром в этой точке так, чтобы она пересекла прямую в двух местах. Обозначим пересечения A и B, а заданную точку — P: тогда PA и PB равны как радиусы одной окружности. Следовательно, P равноудалена от концов AB и лежит на серединном перпендикуляре к AB.

Пересечение построенной линии с исходной прямой называют основанием перпендикуляра. Прямой угол появляется не случайно: построенная линия является серединным перпендикуляром к отрезку, лежащему на исходной прямой. Для работы не измеряют угол транспортиром, а задают равенство расстояний дугами окружностей.

Построение перпендикуляра в зависимости от положения точки

Сначала определите, где находится заданная точка, и выберите соответствующий способ. В обоих случаях результат получают одинаковым приёмом: строят серединный перпендикуляр к отрезку на исходной прямой. Проверка состоит в том, что построенная линия должна проходить через заданную точку и пересекать исходную под прямым углом.

Разбор задач

Задача 1. Дана прямая и точка на ней. Постройте через точку прямую, перпендикулярную данной.

Пусть дана прямая a и точка P на ней. Нужно построить линию через P, которая образует с a прямой угол. Для этого превратим P в середину отрезка, лежащего на прямой.

1. Поставьте ножку циркуля в P и проведите дугу, пересекающую a в точках A и B по разные стороны от P.
2. Не меняя радиуса, а затем выбрав равные достаточно большие радиусы, проведите дуги из A и B по одну и по другую сторону прямой.
3. Соедините точки пересечения дуг прямой. Полученная линия проходит через середину AB, то есть через P.

Ответ: построенная прямая через P перпендикулярна a, потому что является серединным перпендикуляром к AB.

Задача 2. Дана прямая и точка вне неё. Постройте из этой точки перпендикуляр к прямой.

Пусть P не лежит на прямой a. Сначала нужно получить на a отрезок, концы которого находятся на одинаковом расстоянии от P. Такую пару дают пересечения прямой с окружностью, центр которой находится в P.

1. Проведите окружность с центром P, пересекающую прямую a в точках A и B.
2. Из A и B проведите дуги одинакового радиуса, большего половины AB, и найдите их пересечения.
3. Соедините пересечения дуг прямой. Она пройдёт через P и пересечёт a в основании H.

Ответ: PH — перпендикуляр к a, а H — его основание. Вся построенная линия является серединным перпендикуляром к AB.

Задача 3. Объясните, почему построенная через точку вне прямой прямая перпендикулярна исходной.

Пусть окружность с центром P пересекает исходную прямую в A и B. Нужно связать это построение с известным свойством серединного перпендикуляра, а не просто проверить рисунок на глаз.

1. Так как A и B лежат на одной окружности с центром P, то PA = PB.
2. Следовательно, P равноудалена от концов отрезка AB.
3. Любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
4. Серединный перпендикуляр к AB перпендикулярен AB, а AB лежит на исходной прямой.

Ответ: построенная прямая проходит через P и перпендикулярна исходной прямой по свойству серединного перпендикуляра.

Типичные ошибки

Провести через точку и середину отрезка недостаточно. Часто считают, что любая линия через эти две точки уже доказанно перпендикулярна. Нужно показать, что отрезок действительно разделён пополам и построенная линия равноудалена от его концов; тогда это серединный перпендикуляр.

Выбрать точки на исходной прямой не на одной окружности с внешней точкой. Ошибка возникает, когда точки берут примерно симметрично на глаз. Проверьте, что обе они лежат на окружности с центром в заданной точке: тогда расстояния до них равны.

Построить дуги с разными радиусами. При нахождении серединного перпендикуляра дуги из концов отрезка должны иметь одинаковый радиус. Иначе их пересечения не обязаны быть равноудалены от концов, и нужное свойство не доказано.

Путать перпендикуляр с отрезком до прямой. Отрезок заканчивается в основании, а перпендикулярная прямая продолжается по обе стороны от него. Проверьте, какой объект требует условие: отрезок, луч или целая прямая.

Связь с другими темами

Для построения понадобятся циркуль, линейка и умение проводить окружность заданного радиуса. Также нужно знать свойство серединного перпендикуляра и признак: точка принадлежит ему тогда и только тогда, когда равноудалена от концов отрезка. Построенный перпендикуляр используется при нахождении расстояния от точки до прямой и в других задачах на геометрические построения.

Что запомнить

• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с данной прямой.
• Серединный перпендикуляр к отрезку проходит через его середину и перпендикулярен ему.
• Точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре.
• Для построения перпендикуляра через внешнюю точку находят две точки исходной прямой, равноудалённые от неё.
• Построение циркулем и линейкой нужно не только выполнить, но и обосновать.