40. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°. В такой фигуре два угла при сторонах-катетах вместе образуют прямой угол. Это определение помогает сразу понять, какое свойство нужно обеспечить при построении.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она соединяет две вершины, в которых сходятся катеты, и является самой длинной стороной. В задаче её удобно обозначить отрезком AB, потому что именно его длина уже задана.

Катет — одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. В построении заданный катет обозначим AC: он соединяет известный конец гипотенузы A с искомой вершиной C. Такое обозначение подсказывает, в каком конце AB нужно отложить длину катета.

Задача на построение — задача, в которой требуется построить геометрическую фигуру с заданными свойствами с помощью циркуля и линейки. Циркулем переносят расстояния и проводят окружности, а линейкой проводят прямые и отрезки. Здесь эти инструменты позволяют найти вершину треугольника, не измеряя углы транспортиром.

Как это устроено

Пусть по условию дана гипотенуза и один катет. Обозначим гипотенузу отрезком AB, а заданный катет — AC, поэтому вершину C ещё предстоит найти. Если по условию названа другая пара букв, их можно заменить, сохранив смысл: заданный катет должен выходить из того конца гипотенузы, который указан в его обозначении.

Почему C нужно искать на окружности с диаметром AB? Если соединить C с A и B, угол ACB будет опираться на диаметр AB. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, этот угол равен 90°, а значит, треугольник ABC будет прямоугольным. Обратно, для любого прямоугольного треугольника с гипотенузой AB вершина прямого угла лежит на такой окружности.

Чтобы построить эту окружность циркулем, сначала находят середину M отрезка AB. Она является центром окружности, потому что центр любой окружности делит её диаметр пополам. Радиус равен MA, то есть половине гипотенузы; если взять весь отрезок AB, получилась бы окружность другого размера и AB не стал бы её диаметром.

Пока первая окружность задаёт только возможное положение прямого угла, но не длину катета. Для этого строят вторую окружность с центром A и радиусом, равным заданной длине AC. Все точки этой окружности находятся на расстоянии AC от A, поэтому любая подходящая точка C автоматически даёт нужную длину катета.

Точки пересечения окружностей одновременно удовлетворяют обоим условиям: лежат на окружности с диаметром AB и находятся от A на расстоянии заданного катета. Поэтому соединение каждой такой точки с A и B даёт искомый треугольник. Обычно пересечений два: они расположены по разные стороны от AB и дают симметричные решения; если окружности не пересекаются, построить треугольник с такими данными нельзя.

Этапы построения прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету

Таблица показывает, какое действие выполняют и какое условие оно обеспечивает. Двигайтесь сверху вниз: середина отрезка нужна для первой окружности, а две окружности вместе задают положение вершины. Последний этап — проверка, чтобы убедиться, что выполнены оба условия задачи.

Разбор задач

Задача 1. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе AB и катету AC. Здесь длины заданы, но числовые значения не указаны, поэтому построение выполняют циркулем, перенося заданные отрезки. Искомая вершина C должна одновременно обеспечить прямой угол и нужную длину AC.

1. Проведите отрезок AB, равный заданной гипотенузе.
2. Постройте его середину M и окружность с центром M, проходящую через A и B.
3. Проведите окружность с центром A и радиусом, равным заданному отрезку AC.
4. Одну из точек пересечения окружностей назовите C, затем соедините C с A и B.

Ответ. Треугольник ABC — искомый: AC равен заданному катету, а угол ACB прямой. Если окружности пересекаются в двух точках, вторую точку тоже можно взять за C и получить симметричный треугольник.

Задача 2. Построить треугольник с гипотенузой 8 см и катетом 5 см, определить число решений. Сначала нужно проверить, могут ли окружности пересечься: расстояние между центрами равно половине гипотенузы, то есть 4 см, а радиусы равны 4 см и 5 см. Здесь 4 и 5 отличаются меньше чем на 4 и их сумма больше 4, значит, окружности пересекутся в двух точках.

1. Постройте AB = 8 см и отметьте середину M; тогда MA = 4 см.
2. Проведите окружность с центром M радиуса 4 см.
3. Проведите окружность с центром A радиуса 5 см.
4. Отметьте обе точки пересечения C₁ и C₂, затем соедините каждую с A и B.

Ответ. Получаются два прямоугольных треугольника, симметричных относительно AB. Каждый имеет гипотенузу 8 см и катет длиной 5 см; второй катет отдельно задавать не требуется.

Задача 3. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе 6 см и катету 4 см, затем обосновать построение. Центр первой окружности будет находиться на расстоянии 3 см от A, а вторая окружность имеет радиус 4 см. Разность радиусов меньше 3 см, а сумма больше 3 см, следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

1. Постройте отрезок AB = 6 см и найдите его середину M.
2. Проведите окружность с центром M радиуса MA = 3 см.
3. Проведите окружность с центром A радиуса 4 см.
4. Выберите точку пересечения C, соедините её с A и B; при желании повторите с другой точкой.

Ответ и обоснование. Так как C лежит на окружности с диаметром AB, угол ACB равен 90°. Так как C лежит на окружности с центром A и радиусом 4 см, AC = 4 см. Значит, получен прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см и заданным катетом 4 см.

Типичные ошибки

Иногда окружность с центром в середине гипотенузы проводят радиусом, равным всей длине AB. Так путают диаметр и радиус: диаметр состоит из двух радиусов. Проверьте построение: расстояние от центра до A должно быть AB : 2, а окружность должна проходить и через A, и через B.

Другая ошибка — выбрать точку на окружности с диаметром AB и сразу объявить её вершиной C. Эта окружность гарантирует прямой угол, но не гарантирует заданную длину катета. Проверьте, что AC равно условию: точка C должна также лежать на окружности с центром A и нужным радиусом.

Можно назвать катетом сторону, которая не имеет заданной длины или не образует прямой угол. Такое происходит, если перепутать вершину C с концом гипотенузы или неверно прочитать обозначения сторон. Перед ответом проверьте: гипотенуза лежит напротив прямого угла, а заданный катет соединяет его вершину с указанным концом AB.

Наконец, иногда отмечают только одно пересечение окружностей и считают, что решение единственное. Вторая точка часто остаётся незамеченной, потому что лежит по другую сторону от AB. Проверьте всю окружность: если есть два пересечения, каждое задаёт треугольник, и оба решения симметричны.

Связь с другими темами

Для построения пригодятся понятия прямоугольного треугольника, гипотенузы и катета, а также умение строить окружность. Середину AB находят, например, построив серединный перпендикуляр к этому отрезку. Если эти действия знакомы, построение сводится к последовательному выполнению уже освоенных операций.

Обоснование опирается на свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр: он прямой. Поэтому построение связывает задачу на циркуль и линейку с теоремой о вписанном угле. Здесь геометрическое свойство не просто описывает готовую фигуру, а помогает найти её вершину.

Этот приём пригодится в других задачах, где фигуру нужно построить по заданным сторонам или углам. Пересечение геометрических линий помогает проверять, существует ли фигура и сколько вариантов возможно. Навык полезен и при обосновании построения: каждое действие обеспечивает одно из условий задачи.

Что запомнить

• Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, на которой лежит вершина прямого угла.
• Середина гипотенузы — центр этой окружности.
• Радиус окружности равен половине гипотенузы.
• Длину заданного катета задаёт окружность с центром в соответствующем конце гипотенузы.
• Точки пересечения двух окружностей — возможные вершины искомого треугольника.
• Обычно получаются два симметричных решения.
• После построения проверьте прямой угол и длину заданного катета.