"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Касательная — прямая, у которой с окружностью только одна общая точка. Чтобы построить её в точке окружности, проводят радиус к этой точке и перпендикуляр к нему. Для построения касательных из точки вне окружности используют середину отрезка от этой точки до центра: так находят точки, в которых касательные касаются окружности. Из одной внешней точки можно провести две касательные, и их отрезки до точек касания равны.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Это означает, что прямая касается окружности, но не проходит сквозь её круг: иначе она пересекла бы окружность ещё раз. Определение помогает отличить касательную от секущей — прямой, пересекающей окружность в двух точках.
Точка касания — единственная общая точка касательной и окружности. Её обычно обозначают заглавной буквой, например A. Через эту точку проводят касательную и радиус, с помощью которого обосновывают построение.
Радиус, проведённый в точку касания, — отрезок от центра окружности до этой точки. Например, если O — центр, а A — точка касания, то OA — радиус касания. Он нужен для построения: касательная проходит через A перпендикулярно OA.
Внешняя точка окружности — точка, лежащая вне круга, то есть дальше от центра, чем радиус. Если такую точку обозначить P, из неё к окружности можно провести две касательные. Их точки касания различны, а сами отрезки от P до этих точек равны.
Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Представим, что прямая через точку A окружности не перпендикулярна радиусу OA: тогда кратчайшее расстояние от центра O до прямой меньше OA. Но OA равен радиусу, значит прямая проходит внутри круга. В таком случае она должна выйти из круга с другой стороны и пересечь окружность ещё раз, что противоречит определению касательной. Поэтому угол между радиусом и касательной равен 90°.
Чтобы построить касательную в заданной точке A, сначала соединяют A с центром O и получают радиус OA. Затем через A проводят прямую, перпендикулярную OA. Такую прямую можно построить циркулем и линейкой либо угольником. Она касается окружности именно в A: перпендикулярность радиуса — необходимое свойство касательной.
Для построения касательных из внешней точки P сначала соединяют P с центром O окружности. Затем находят середину M отрезка OP и строят вспомогательную окружность с центром M и радиусом MO. У неё диаметр равен OP. Эта окружность нужна не вместо исходной, а для нахождения точек, где будут проходить касательные.
Обозначим через A точку пересечения вспомогательной окружности с исходной. Так как A лежит на окружности с диаметром OP, угол OAP, опирающийся на этот диаметр, прямой. Следовательно, радиус OA перпендикулярен отрезку AP. А прямая AP, перпендикулярная радиусу в точке A, касается исходной окружности. Значит, A действительно является точкой касания.
Обычно вспомогательная и исходная окружности пересекаются в двух точках A и B. Проведя прямые PA и PB, получают две касательные. Треугольники OAP и OBP прямоугольные: OP у них общая гипотенуза, а OA и OB — равные радиусы. Поэтому треугольники равны, а соответствующие отрезки PA и PB равны. Это доказывает, что касательные из одной внешней точки имеют равные длины.
| Ситуация | Построение | Обоснование |
|---|---|---|
| Касательная в заданной точке окружности | Соединить центр с точкой окружности. Через эту точку построить перпендикуляр к радиусу. | Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. |
| Касательные из точки вне окружности | Соединить внешнюю точку с центром, найти середину отрезка и провести вспомогательную окружность с диаметром, равным этому отрезку. Через точки пересечения окружностей провести прямые к внешней точке. | Угол, опирающийся на диаметр вспомогательной окружности, прямой; значит, радиус перпендикулярен каждой полученной прямой. |
| Почему построенная прямая касается окружности | Проверить, что прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу к этой точке. | При такой перпендикулярности прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку. |
Сначала определи, где задана точка: на окружности или вне её. Для внешней точки важно строить вспомогательную окружность именно с диаметром, соединяющим эту точку с центром. В каждом случае проверяй результат по главному признаку: касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
Задача. Построить касательную к окружности с центром O в заданной точке A окружности. Точка A уже лежит на окружности, поэтому дополнительных поисков точки касания не требуется. Нужно найти направление прямой, которая будет касательной.
Ответ. Построенная через A перпендикулярная к OA прямая — искомая касательная. Она имеет с окружностью ровно одну общую точку.
Задача. Построить касательные к окружности с центром O из точки P, лежащей вне окружности. Заранее неизвестно, где именно касательные коснутся окружности. Поэтому сначала нужно построить точки, в которых отрезок от P будет перпендикулярен радиусу.
В треугольнике OAP угол OAP прямой, потому что он опирается на диаметр OP. Значит, OA перпендикулярен PA и PA касается исходной окружности; таким же рассуждением доказывается касание PB в точке B. Ответ: искомые касательные — прямые PA и PB.
Задача. Построить касательные из внешней точки P и доказать, что отрезки от P до точек касания равны. После построения обозначим точки касания A и B. Чтобы сравнить PA и PB, удобно рассмотреть треугольники с центром O.
Ответ. Треугольники OAP и OBP равны, поэтому PA = PB. Равенство относится к отрезкам от внешней точки до точек касания.
Проводят через точку окружности произвольную прямую вместо перпендикуляра к радиусу. Такую ошибку допускают, если ориентируются только на то, что прямая проходит через нужную точку: обычно она пересекает окружность ещё раз. Проверь построение: угол между прямой и радиусом должен быть прямым.
При построении из внешней точки находят середину не отрезка OP, соединяющего эту точку с центром. Тогда вспомогательная окружность не будет иметь нужный диаметр, и прямой угол не гарантируется. Перед построением окружности проверь, что её центр — именно середина OP, а её диаметр соединяет P и O.
Путают вспомогательную окружность с искомой и принимают её саму за результат построения. Она нужна лишь для нахождения точек, где касательные коснутся исходной окружности. Отметь точки пересечения двух окружностей и убедись, что точки касания лежат на исходной окружности.
Считают, что из внешней точки можно провести только одну касательную. Первая найденная точка пересечения не отменяет вторую: обычно вспомогательная окружность пересекает исходную в двух точках. Проверь обе точки пересечения и проведи прямые от внешней точки к каждой из них.
Для построений понадобятся знакомые понятия: окружность, её центр и радиус, а также перпендикулярные прямые. Нужно уметь строить перпендикуляр к прямой и середину отрезка циркулем и линейкой. Обоснование построения из внешней точки опирается на теорему о вписанном угле, который опирается на диаметр: такой угол прямой. Эти знания пригодятся в задачах на окружности, касательные и геометрические построения.
Почему касательная перпендикулярна радиусу в точке касания?
Если прямая через точку окружности не перпендикулярна радиусу, расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Тогда прямая проходит внутри окружности и пересекает её в двух точках, а не в одной. Поэтому касательная перпендикулярна радиусу.
Как построить касательную в заданной точке окружности?
Соедини центр окружности с заданной точкой — получится радиус. Затем построй через эту точку прямую, перпендикулярную радиусу. Эта прямая и будет касательной.
Как провести две касательные из точки вне окружности?
Соедини внешнюю точку P с центром O и найди середину отрезка OP. Построй окружность с центром в этой середине и радиусом, равным половине OP. Её пересечения с исходной окружностью — точки касания; проведи через каждую из них прямую, перпендикулярную соответствующему радиусу.
Зачем при построении касательных из внешней точки находить середину отрезка?
Середина нужна, чтобы построить окружность с диаметром OP. Угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому в точке пересечения окружностей радиус оказывается перпендикулярен прямой, соединяющей эту точку с P. Эта перпендикулярность и гарантирует касание.
Почему две касательные, проведённые из одной точки, равны?
Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому получаются два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза OP, а катеты-радиусы равны как радиусы одной окружности. Значит, треугольники равны, и отрезки касательных от P до точек касания тоже равны.
41. Построение касательной.
