§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Определения и обозначения

Противолежащий угол — угол треугольника, лежащий напротив выбранной стороны. У него нет общей вершины с этой стороной: например, в треугольнике ABC стороне AB противолежит угол C. Такое соответствие нужно, чтобы правильно сравнивать стороны и углы.

Противолежащая сторона — сторона треугольника, лежащая напротив выбранного угла. Для угла A в треугольнике ABC это сторона BC, потому что она не содержит вершину A. Найдя эту пару, можно определить, какая сторона больше, если сравниваются углы.

Неравенство треугольника — утверждение, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Например, для сторон a, b и c должны выполняться условия a < b + c, b < a + c и c < a + b. Оно помогает понять, возможно ли составить треугольник из отрезков заданной длины.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Его получают, продолжая одну сторону за вершину, где сходятся две стороны. Это понятие нужно, чтобы находить внешний угол через два внутренних угла, не смежных с ним.

Как это устроено

В треугольнике большей стороне противолежит больший угол. Геометрическую идею можно увидеть, если на большей стороне отложить от вершины отрезок, равный меньшей стороне: образуется равнобедренный треугольник. Его углы при основании равны, а угол, который лежит напротив оставшейся части большей стороны, оказывается больше одного из этих углов. Поэтому и исходный угол напротив большей стороны больше угла напротив меньшей.

Верно и обратное утверждение: против большего угла лежит большая сторона. Его можно получить из предыдущего рассуждения: если бы сторона напротив большего угла была меньше или равна другой, то напротив неё должен был бы лежать меньший или равный угол. Это противоречит условию о большем угле. Значит, при сравнении углов можно сравнить и стороны напротив них.

Из этих двух утверждений следует, что равным сторонам противолежат равные углы, а равным углам — равные стороны. Если стороны не равны, то напротив большей стороны находится больший угол; поэтому при равных углах соответствующие стороны не могут различаться. Так же рассуждают в обратную сторону: при равных сторонах углы напротив них не могут быть разными.

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, а внешний угол вместе со смежным внутренним тоже образует 180°. Если из общей суммы убрать этот внутренний угол, останется сумма двух других, равная внешнему углу. Именно поэтому внешний угол сравнивают не с соседним внутренним, а с двумя удалёнными от него.

Из сравнения сторон и углов получается неравенство треугольника. Каждая сторона короче пути, который проходит по двум другим сторонам между теми же вершинами: прямой отрезок между точками короче ломаной. Поэтому длина любой стороны меньше суммы длин двух остальных. Если сумма двух меньших сторон не превосходит наибольшую, треугольник построить нельзя.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи, что известно: сравнение сторон, углов или длины отрезков. Затем точно найди элементы, лежащие напротив друг друга, и выбери утверждение из последнего столбца. Для проверки существования треугольника сравни наибольшую сторону с суммой двух меньших.

Разбор задач

В треугольнике ABC стороны AB = 5, AC = 7. Сравните углы B и C. Длины сторон даны в одинаковых единицах, поэтому их можно сравнить напрямую. Нужно помнить, что каждый угол сопоставляют со стороной напротив него.

1. Углу B противолежит сторона AC, а углу C — сторона AB.
2. Так как AC = 7, AB = 5 и 7 > 5, сторона AC больше стороны AB.
3. Против большей стороны лежит больший угол, значит, угол B больше угла C.

Ответ: угол B больше угла C. Здесь важно не сопоставить угол B со стороной AB: эта сторона образует угол B, а не лежит напротив него. Правильная пара определяется по вершине, не входящей в сторону.

Могут ли стороны треугольника иметь длины 3 см, 4 см и 8 см? Обоснуйте ответ. Для треугольника сумма двух меньших сторон должна быть больше наибольшей. Если это условие не выполняется, остальные проверки не смогут сделать такой набор длин возможным.

1. Наибольшая длина — 8 см, две меньшие длины — 3 см и 4 см.
2. Складываем меньшие длины: 3 + 4 = 7 см.
3. Получаем 7 < 8, то есть сумма двух меньших сторон не больше наибольшей.

Ответ: нет, треугольник с такими сторонами существовать не может. Отрезки длиной 3 см и 4 см вместе не смогут соединить концы отрезка длиной 8 см. Нарушено неравенство треугольника.

В треугольнике ABC угол A больше угла B, а сторона BC равна 6 см. Сравните стороны BC и AC и объясните, какое ограничение накладывают на третью сторону длины BC и AC. Углы сравнивают не напрямую со сторонами, а с противолежащими сторонами. После этого для третьей стороны применяют неравенство треугольника.

1. Напротив угла A лежит сторона BC, а напротив угла B — сторона AC.
2. Так как угол A больше угла B, то BC > AC. Следовательно, AC < 6 см.
3. Обозначим третью сторону AB. По неравенству треугольника AB < BC + AC, то есть AB < 6 + AC.

Ответ: BC больше AC, а длина AB должна быть меньше суммы 6 см и AC. Кроме того, из неравенства 6 < AB + AC следует AB > 6 − AC. Вместе эти условия дают границы: 6 − AC < AB < 6 + AC.

Типичные ошибки

При сравнении угла и стороны иногда выбирают сторону, которая образует этот угол, а не лежит напротив него. Так происходит, если ориентироваться только на общую вершину и не проверять пары элементов. Перед применением теоремы назови противолежащую сторону или угол; например, напротив угла A всегда лежит сторона BC.

Некоторые считают, что большей стороне соответствует меньший угол. Это направление сравнения меняют местами, если запоминают правило без связи с расположением элементов. Проверь себя: напротив большей стороны должен быть больший угол, а напротив меньшего — меньший.

Для проверки треугольника могут проверить только одно неравенство, например сумму двух сторон, выбранных наугад. Но нужны условия для каждой стороны; иначе можно пропустить случай, когда другая сторона слишком длинная. Быстрее всего сложить две меньшие длины и сравнить результат с наибольшей.

Внешний угол иногда путают с соседним внутренним углом, с которым он образует развернутый угол. Теорема о внешнем угле связывает его не с этим соседом, а с двумя другими внутренними углами треугольника. Чтобы не ошибиться, отметь угол при вершине, где продолжена сторона, и исключи смежный с внешним угол.

Связь с другими темами

Для работы с темой нужны обозначения вершин, сторон и углов треугольника, свойство смежных углов и знание того, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Эти сведения помогают обосновать теорему о внешнем угле. Сравнение сторон и углов пригодится при изучении свойств равнобедренного треугольника, а также в задачах на построение и сравнение треугольников. Неравенство треугольника используют, чтобы проверять, могут ли три заданных отрезка быть сторонами треугольника.

Что запомнить

• Напротив большей стороны лежит больший угол.
• Напротив большего угла лежит большая сторона.
• Равным сторонам противолежат равные углы.
• Равным углам противолежат равные стороны.
• Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.
• Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.