31. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Определения и обозначения

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые, то есть каждый меньше 90°. Например, углы 50°, 60° и 70° подходят под это определение. Оно помогает узнать такой треугольник по углам, даже если длины его сторон неизвестны.

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой и равен 90°. Стороны, образующие этот угол, называются катетами, а сторона напротив прямого угла — гипотенузой. Эти названия позволяют точно указывать стороны и применять свойства прямоугольных треугольников.

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой, то есть больше 90°. Например, угол 110° является тупым. Название сразу сообщает, что в треугольнике есть угол больше прямого, а остальные углы нужно рассматривать отдельно.

Как это устроено

Классификация по углам основана на сравнении каждого угла с прямым углом, равным 90°. Угол меньше 90° острый, равный 90° — прямой, а больший 90° — тупой. Сначала определяют вид каждого угла, а затем по их сочетанию называют треугольник. Так становится понятно, какие именно угловые свойства ему присущи.

В прямоугольном треугольнике не может быть второго прямого угла. Два прямых угла в сумме дали бы 90° + 90° = 180°, а третьему углу пришлось бы иметь величину 0°. Но у любого настоящего треугольника три угла, и каждый из них больше 0°. Поэтому прямой угол может быть только один.

Двух тупых углов в треугольнике тоже быть не может. Каждый тупой угол больше 90°, значит, сумма двух таких углов уже больше 180°. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника: все три угла вместе составляют ровно 180°. Следовательно, тупым может быть только один угол.

Если в треугольнике есть прямой угол, два других вместе составляют 180° − 90° = 90°. Каждый из них меньше 90°, то есть оба острые. Если один угол тупой, он больше 90°, поэтому на два оставшихся угла вместе приходится меньше 90°. Каждый из них положителен и меньше этой суммы, следовательно, оба тоже острые.

Сумма углов 180° объясняет, почему треугольник обязательно попадает ровно в один из трёх видов. Если среди углов нет ни прямого, ни тупого, то все три меньше 90° и треугольник остроугольный. Если есть прямой угол, треугольник прямоугольный; если есть тупой — тупоугольный. Одновременно два из этих случаев возникнуть не могут: второй прямой или тупой угол нарушил бы сумму углов.

Виды треугольников по углам

Сравните углы своего треугольника с 90° и найдите подходящую строку. В столбце о количестве углов собраны ограничения, которые следуют из суммы 180°. Особые названия сторон есть только у прямоугольного треугольника.

Разбор задач

У треугольника углы равны 50°, 60° и 70°. Определите вид треугольника. Нужно проверить не только, что каждый угол меньше 90°, но и что данные величины действительно могут быть углами одного треугольника: их сумма должна составлять 180°. После проверки можно назвать вид по углам.

1. Сравним углы с 90°: 50° < 90°, 60° < 90° и 70° < 90°.
2. Проверим сумму: 50° + 60° + 70° = 180°.
3. Все три угла острые, значит, треугольник остроугольный.

Ответ: остроугольный треугольник.

Один угол треугольника равен 90°, а другой — 35°. Найдите третий угол и назовите вид треугольника. Неизвестный угол можно найти по сумме 180°, вычтя оба известных угла. Затем по наличию прямого угла определить вид фигуры.

1. Сложим известные углы: 90° + 35° = 125°.
2. Вычтем эту сумму из 180°: 180° − 125° = 55°.
3. Третий угол равен 55° и является острым; угол 90° означает, что треугольник прямоугольный.

Ответ: 55°, прямоугольный треугольник.

Один угол треугольника равен 112°, а два других относятся как 2 : 3. Найдите эти углы и определите вид треугольника. Сначала найдём их общую сумму, затем разделим её на пять одинаковых долей — столько долей приходится на отношение 2 : 3. Так мы учтём заданное соотношение, а после проверим величины углов.

1. На два оставшихся угла приходится 180° − 112° = 68°.
2. Всего в отношении 2 : 3 пять долей, одна доля равна 68° ÷ 5 = 13,6°.
3. Углы равны 2 · 13,6° = 27,2° и 3 · 13,6° = 40,8°.
4. Оба угла острые, а 112° — тупой, поэтому треугольник тупоугольный.

Ответ: 27,2° и 40,8°; треугольник тупоугольный.

Типичные ошибки

Иногда треугольник называют прямоугольным, если его угол на рисунке выглядит почти прямым. Так происходит потому, что чертёж может быть выполнен неточно, но для классификации нужен угол ровно 90°. Проверяйте данную величину или измеряйте угол инструментом, а не полагайтесь только на вид рисунка.

Можно ошибочно предположить, что у тупоугольного треугольника два тупых угла. Такое невозможно: каждый из них больше 90°, и вместе они превысили бы сумму всех углов треугольника. Чтобы проверить себя, сложите известные углы и сопоставьте сумму с 180°.

Забывают, что два угла прямоугольного треугольника острые. Ошибка возникает, если помнить только о прямом угле и не использовать теорему о сумме углов. Вычтите 90° из 180°: на два других угла остаётся 90°, поэтому каждый из них меньше 90°.

Гипотенузу иногда путают с катетом, особенно если треугольник нарисован по-разному. Катеты образуют прямой угол, а гипотенуза лежит напротив него. Найдите прямой угол и проверьте, какая сторона не касается его вершины: это гипотенуза.

Связь с другими темами

Для классификации нужно знать виды углов: острый, прямой и тупой, а также уметь сравнивать их с 90°. Если угол дан числом, достаточно сопоставить это число с 90°. Если угол изображён, его можно оценить или измерить транспортиром.

Главный инструмент в задачах — теорема о сумме углов треугольника: она равна 180°. С её помощью находят неизвестный угол и проверяют, возможно ли существование треугольника с заданными углами. Различение катетов и гипотенузы станет опорой для изучения свойств прямоугольных треугольников и решения задач на стороны и углы.

Что запомнить

• В остроугольном треугольнике все углы меньше 90°.
• В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
• В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°.
• В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов.
• В прямоугольном и тупоугольном треугольниках два оставшихся угла острые.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла, две другие стороны — катеты.