30. Теорема о сумме углов треугольника

Определения и обозначения

Угол треугольника — это угол между двумя сторонами, выходящими из одной вершины. У треугольника три вершины, поэтому рассматривают три внутренних угла: при первой, второй и третьей вершинах. Их часто обозначают греческими буквами α, β и γ. Это определение помогает не перепутать углы треугольника с углами, которые получаются при продолжении его сторон.

Сумма углов треугольника — результат сложения величин всех трёх его внутренних углов. Например, если углы равны α, β и γ, их сумма записывается так: α + β + γ. Такая запись нужна, чтобы коротко выражать связь между углами и находить неизвестный, когда известны два других.

Теорема о сумме углов треугольника утверждает: сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°, то есть α + β + γ = 180°. Слово «любого» означает, что правило действует для треугольников разных форм и размеров. Теорема позволяет вычислять углы и проверять, согласуются ли данные задачи с геометрией.

Следствие из теоремы — вывод, который получают из уже доказанного утверждения. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, поэтому два оставшихся, острых, в сумме дают 90°. Это следствие удобно использовать, когда в задаче известна величина одного острого угла и нужно найти другой.

Как это устроено

Пусть дан треугольник ABC. Проведём через вершину A прямую, параллельную стороне BC. Такая прямая нужна, чтобы сравнить углы треугольника с углами, которые возникают при пересечении параллельных прямых секущими AB и AC. Полученные равенства позволят собрать три угла треугольника рядом на одной прямой.

Сторона AB пересекает две параллельные прямые — проведённую через A и сторону BC. Поэтому угол между AB и новой прямой, расположенный внутри полосы между параллельными, равен углу B: это равные накрест лежащие углы. По той же причине угол между новой прямой и AC равен углу C. Равенства появляются именно из-за параллельности, а не просто из-за формы треугольника.

У точки A теперь расположены три угла рядом: равный углу B, сам угол A и равный углу C. Они вместе образуют развёрнутый угол. Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны; его величина равна 180°. Поэтому сумма трёх расположенных рядом углов составляет 180°.

Два крайних угла у прямой равны углам B и C, а средний — углу A. Значит, вместо углов, расположенных у точки A, можно записать углы самого треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Так получается доказательство теоремы: параллельные прямые дают равенство углов, а свойство развёрнутого угла задаёт их общую сумму.

Если треугольник прямоугольный, один из его углов уже известен: он равен 90°. Вычтем его из общей суммы: два других угла вместе дают 180° − 90° = 90°. Эти углы острые, потому что каждый меньше прямого угла; так получаем следствие о сумме острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема помогает проверить и три заданные величины. Их сумма должна равняться 180°, иначе они не могут быть внутренними углами одного треугольника. Кроме того, каждый угол должен быть больше 0° и меньше 180°: например, величина 0° не задаёт угол треугольника, даже если при сложении получилось 180°.

Суммы углов в треугольниках

Сначала найди в таблице строку, которая подходит к условию задачи, затем выбери указанную связь между углами. Если известны два угла, складывай именно их и вычитай результат из 180°. В прямоугольном треугольнике можно сразу использовать сумму острых углов 90°.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий угол. Искомый угол вместе с двумя известными должен составить 180°, поэтому сначала сложим данные величины, а затем найдём, сколько градусов осталось до 180°.

1. Сложим известные углы: 48° + 67° = 115°.
2. Вычтем их сумму из 180°: 180° − 115° = 65°.
3. Проверим результат: 48° + 67° + 65° = 180°.

Ответ: третий угол равен 65°. Проверка подтверждает, что сумма всех трёх углов соответствует теореме.

Задача 2. Могут ли величины 35°, 55° и 90° быть углами одного треугольника? Обоснуйте ответ. Для ответа недостаточно оценить каждую величину отдельно: нужно проверить общее условие для всех трёх внутренних углов. Если сумма не равна 180°, такие углы не образуют треугольник.

1. Сложим величины: 35° + 55° + 90° = 180°.
2. Проверим каждую из них: все углы положительные и меньше 180°.
3. Оба необходимых условия выполнены, значит, величины могут быть углами одного треугольника.

Ответ: да, могут. Сумма равна 180°, и ни одна из величин не нарушает условие для внутреннего угла.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике один острый угол вдвое больше другого. Найдите оба острых угла. Обозначим меньший угол через x градусов, тогда больший равен 2x градусов. Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, можно составить уравнение x + 2x = 90°.

1. Сложим подобные слагаемые: 3x = 90°.
2. Разделим обе части равенства на 3: x = 30°.
3. Больший угол вдвое больше: 2x = 2 · 30° = 60°.

Ответ: острые углы равны 30° и 60°. Проверка: 30° + 60° = 90°, а больший угол действительно в два раза больше меньшего.

Типичные ошибки

Ошибка: сложить только два угла и решить, что их сумма всегда равна 180°. Это число относится к сумме всех трёх внутренних углов; путаница возникает, когда свойство прямоугольного треугольника переносят на любой треугольник. Проверь, указан ли в условии прямой угол: только в прямоугольном треугольнике два оставшихся угла дают 90°.

Ошибка: использовать внешний угол вместо внутреннего. Внешний угол появляется, когда сторону треугольника продолжают за вершину, и он не входит в сумму по теореме. Чтобы проверить себя, найди угол между двумя сторонами, выходящими из одной вершины, и убедись, что именно его величину подставляешь в вычисление.

Ошибка: считать, что суммы 180° достаточно для любых трёх величин. Например, число 0° не может быть внутренним углом треугольника, хотя отдельные три числа могут дать нужную сумму. Проверь, что все величины положительны и каждая меньше 180°; вместе с суммой 180° это позволяет убедиться, что данные подходят.

Ошибка: неверно вычесть сумму двух известных углов из 180°. Обычно ошибаются при сложении сначала заданных величин или при вычитании в уме. Запиши действие скобками: 180° − (первый угол + второй угол), а затем сложи три полученные величины для проверки.

Связь с другими темами

Для доказательства нужны понятия угла, треугольника и развёрнутого угла, а также свойство равных углов при параллельных прямых. Если одно из этих свойств забыто, восстанови его до начала доказательства: тогда станет понятнее, откуда берутся равенства углов. Сама теорема пригодится в задачах на углы треугольника и при изучении внешнего угла треугольника. Знание суммы позволяет связывать внутренние углы между собой и находить неизвестную величину.

Что запомнить

• Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.
• Величину третьего угла находят вычитанием суммы двух известных углов из 180°.
• В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°.
• Если сумма трёх углов не равна 180°, они не могут быть углами одного треугольника.
• Доказательство теоремы опирается на свойства параллельных прямых и развёрнутого угла.